Дифференциа́льная геоме́трия — раздел математики , изучающий гладкие многообразия , обычно с дополнительными структурами. Они находят множество применений в физике , особенно в общей теории относительности .

Основные подразделы дифференциальной геометрии:

Часто дифференциальная геометрия рассматривается как неделимый раздел вместе с дифференциальной топологией . Различиями между этими разделами могут быть наличие или отсутствие дополнительных структур на гладком многообразии, но может быть также наличие или отсутствие локальных инвариантов: в дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях , что у любой пары точек можно найти одинаковые окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна ), которые могут различаться в точках. Например, симплектическая структура таких инвариантов не имеет, и наряду с симплектической геометрией рассматривается « симплектическая топология ».

Математическая предметная классификация выделяет для дифференциальной геометрии раздел верхнего уровня 53 , а дифференциальную топологию относит в качестве блока второго уровня 57Rxx в разделе «Многообразия и клеточные комплексы».

История

Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом , который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной , понятие площади и объёма — понятию интеграла .

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа . Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795 ). В 1827 году Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии . Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» ( 1854 ) заложил основы римановой геометрии , наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.

Теоретико-групповая точка зрения Клейна , изложенная в его « Эрлангенской программе » ( 1872 ), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном , который построил теорию пространств и аффинной связности .

Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики: он начал развиваться только в начале XX века.

Литература

• // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов . — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П. , Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М. : Наука, 1986. — 760 с.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М. : МГУ, 1980. — 439 с.
• _en . Дифференциальная геометрия и топология. — М. : Мир, 1970. — 223 с.
• Веблен О. , Уайтхед Дж. = The Foundations of Differential Geometry / Пер. с англ. М. Г. Фрейдиной. — М. : ИЛ, 1949. — 230 с.
• Гусейн-Заде С. М. . — М. : МГУ, 2001. — 54 с.
• Егоров Д. Ф. . — М. : Наука, 1970. — 380 с.
• Номидзу К. = Lie Groups and Differential Geometry / Пер. с англ. Ю. А. Шуб-Сизоненко. — М. : ИЛ, 1960. — 128 с.
• Погорелов А. И. . — 6-ое изд. — М. : Наука, 1974. — 176 с.
• Рашевский П. К. . — 3-е изд. — М. — Л. : ГИТТЛ, 1950. — 428 с.
• Розендорн Э. Р. . — М. : Наука, 1971. — 64 с.
• Стернберг С. = Lectures on Differential Geometry / Пер. с англ. Д. В. Алексеевского. — М. : Мир, 1970. — 412 с.
• Троицкий Е. В. . — М. : МГУ, 2003. — 52 с.
• Фиников С. П. . — М. : МГУ, 1961. — 158 с.
• Фиников С. П. . — М. — Л. : ОНТИ, 1937. — 264 с.
• Скопенков А. . — М. : МЦНМО, 2008.