Торический узел — специальный вид узлов , лежащих на поверхности незаузлённого тора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Торическое зацепление — зацепление , лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ . Торическое зацепление возникает, когда ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ ). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда , когда либо ${\displaystyle p}$ , либо ${\displaystyle q}$ равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник .

Геометрическое представление

Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.

Обычно используется соглашение, что ${\displaystyle (p,q)}$ -торический узел вращается ${\displaystyle q}$ раз вокруг круговой оси тора и ${\displaystyle p}$ раз вокруг оси вращения тора. Если ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для ${\displaystyle pq>0}$ .

${\displaystyle (p,q)}$ -торический узел может быть задан :

${\displaystyle x=r}$ ${\displaystyle \cos(p\phi)}$ ,

${\displaystyle y=r}$ ${\displaystyle \sin(p\phi)}$ ,

${\displaystyle z=-\sin(q\phi)}$ ,

где ${\displaystyle r=\cos(q\phi)+2}$ и ${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$ . Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$ (в цилиндрических координатах ).

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв ${\displaystyle r=\cos(q\phi)+4}$ , а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания ${\displaystyle 3\cos((p-q)\phi)}$ и ${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi)}$ из вышеприведённых параметризаций ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .

Свойства

Торический узел является тривиальным тогда и только тогда , когда либо ${\displaystyle p}$ , либо ${\displaystyle q}$ равны 1 или −1 .

Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными .

${\displaystyle (p,q)}$ -торический узел эквивалентен ${\displaystyle (q,p)}$ -торическому узлу . ${\displaystyle (p,-q)}$ -торический узел является обратным (зеркальным отражением) ${\displaystyle (p,q)}$ -торического узла . ${\displaystyle (-p,-q)}$ -торический узел эквивалентен ${\displaystyle (p,q)}$ -торическому узлу, за исключением ориентации.

Любой ${\displaystyle (p,q)}$ -торический узел может быть построен из замкнутой косы с ${\displaystyle p}$ нитями. Подходящее слово косы :

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}}$ .

Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращения .

Число пересечений ${\displaystyle (p,q)}$ -торического узла с ${\displaystyle p,q>0}$ задаётся формулой:

${\displaystyle c=\min((p-1)q,(q-1)p)}$ .

Род торического узла с ${\displaystyle p,q>0}$ равен:

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

Многочлен Александера торического узла равен :

${\displaystyle {\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}}$ .

Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой:

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}}$ .

Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта .

Пусть ${\displaystyle Y}$ — ${\displaystyle p}$ -мерный с диском, удалённым внутри, ${\displaystyle Z}$ — ${\displaystyle q}$ -мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и ${\displaystyle X}$ — факторпространство, полученное отождествлением ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ вдоль границы окружности. Дополнение ${\displaystyle (p,q)}$ - торического узла является деформационным ретрактом пространства ${\displaystyle X}$ . Таким образом, группа узла торического узла имеет представление :

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle }$ .

Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$ из этого представления).

Список

• Тривиальный узел , 3 1 -узел (2,3), Узел «Лапчатка» (5,2), (7,2), 8 ₁₉ -узел (4,3), 9 ₁ -узел (9,2), 10 ₁₂₄ -узел (5,3).

См. также

• Альтернированный узел
• Узел «Лапчатка»

Примечания

Литература

• Charles Livingston. . — Mathematical Association of America, 1993. — ISBN 0-88385-027-3 .
• Kunio Murasugi. . — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-3817-2 .
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1 .
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — Springer, 1997. — ISBN 0-387-98254-X .
• J. S. Birman, T. E. Brendle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. — Elsevier, 2005. — ISBN 0-444-51452-X ..
• J. Milnor. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton University Press, 1968. — ISBN 0-691-08065-8 .

Ссылки

• , The Knot Atlas.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .