Квадратри́са — плоская трансцендентная кривая , определяемая кинематически . Была предложена в античные времена (V веке до н. э.) для решения задач квадратуры круга и трисекции угла . Квадратриса стала первой в математике трансцендентной кривой .

Определение

Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат ${\displaystyle ABCD}$ (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка ${\displaystyle E}$ равномерно движется по дуге от точки ${\displaystyle D}$ до точки ${\displaystyle B}$ ; одновременно отрезок ${\displaystyle A'B'}$ равномерно движется из положения ${\displaystyle DC}$ в положение ${\displaystyle AB}$ . Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса ${\displaystyle AE}$ и отрезка ${\displaystyle A'B'}$ опишет квадратрису (см. рисунки 1 и 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью Архимеда . Построения эти довольно сложны и на практике не используются.

В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы .

История

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха , софистом Гиппием в V веке до н. э. и использовалась им для решения задачи трисекции угла . Другой античный геометр, Динострат , провёл в IV веке до н. э. исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга . В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия» .

Папп пишет, что математик III века Спор Никейский выдвинул два серьёзных возражения против использования квадратрисы для квадратуры круга, с которыми Папп полностью согласен :

1. Невозможно точно согласовать движение отрезков ВС и АВ, если не знать заранее отношение длины дуги четверти окружности к радиусу, поэтому получается порочный круг .
2. Точку К построить нельзя, потому что в соответствующий момент времени отрезок и радиус совпадают. В современной терминологии, точка К есть предел точек квадратрисы — понятие, чуждое античной математике.

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма , Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей « Геометрии » (1637) . Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда , а также указал способ проведения касательных .

Уравнения кривой

• В полярных координатах :

${\displaystyle \rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}.}$

Вывод

Пусть ${\displaystyle R}$ — радиус круга, ${\displaystyle \varphi }$ — текущий угол ${\displaystyle FAG}$ , ${\displaystyle \rho =AF}$ — полярный радиус. Для удобства введём время ${\displaystyle t}$ , которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки ${\displaystyle E}$ по дуге длиной ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ можно выразить уравнением: ${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).}$ Равномерное движение отрезка ${\displaystyle A'B'}$ выражается уравнением: ${\displaystyle A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R}$ Подставляя значение ${\displaystyle 1-t}$ из первого уравнения во второе, получаем окончательно: ${\displaystyle \rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.}$

• В прямоугольных координатах :

${\displaystyle x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}}$

Вывод

Приводим уравнение в полярных координатах к виду: ${\displaystyle \rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi }$ Учитывая ${\displaystyle \rho \sin \varphi =y}$ , получаем ${\displaystyle y={\frac {2R}{\pi }}\varphi }$ Из геометрических соображений: ${\displaystyle \textstyle \varphi =\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$ . Тогда уравнение предстанет в виде: ${\displaystyle {\frac {\pi y}{2R}}=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}}$ Берём тангенс от обеих частей: ${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}}$ то есть ${\displaystyle x=y\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi y}{2R}}}$

Основное свойство

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

${\displaystyle \rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi ,}$ или: ${\displaystyle y=k\varphi ,}$ где ${\displaystyle k={\frac {2R}{\pi }}.}$

Отсюда следует основное свойство данной кривой :

Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек: ${\displaystyle {\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\varphi _{1}}{\varphi _{2}}}.}$

Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведённые рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства

Площадь сегмента ${\displaystyle ADFG}$ квадратрисы определяется формулой :

${\displaystyle S={\frac {2R^{2}\ln 2}{\pi }}}$

Применение

Трисекция угла

Трисекция угла , то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть ${\displaystyle EAB}$ (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

1. Находим точку ${\displaystyle F}$ на квадратрисе и её ординату ${\displaystyle A'}$ .
2. Откладываем на отрезке ${\displaystyle AA'}$ его третью часть; получим некоторую точку ${\displaystyle H}$ .
3. Находим на квадратрисе точку ${\displaystyle K}$ с ординатой ${\displaystyle H}$ .
4. Проводим луч ${\displaystyle AK}$ . Угол ${\displaystyle KAB}$ — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей .

Квадратура круга

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса ${\displaystyle R}$ . Алгебраически это означает решение уравнения: ${\displaystyle x^{2}=\pi R^{2}}$ .

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел , получаем, что абсцисса ${\displaystyle AG}$ её нижней точки (на рис. 3 это отрезок ${\displaystyle AJ}$ ) равна ${\displaystyle {\frac {2R}{\pi }}}$ . Выразим это в виде пропорции: ${\displaystyle C:2R=2R:AG}$ , где ${\displaystyle C=2\pi R}$ — длина окружности. Приведённое соотношение позволяет построить отрезок длины ${\displaystyle C}$ . Прямоугольник со сторонами ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle C/2}$ будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами .

• Квадратриса Чирнгауза (или Чирнгаузена), аффинная обычной синусоиде :

${\displaystyle y=a\sin {\frac {\pi x}{2a}}}$

• Квадратриса Озанама :

${\displaystyle x=2a\sin ^{2}{\frac {y}{2a}}}$

• Кохлеоида с полярным уравнением ${\displaystyle \rho =a{\frac {\sin \varphi }{\varphi }}}$ .

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы Динострата :

${\displaystyle y=x\,\operatorname {ctg} {\frac {\pi x}{2R}}}$

Этот вариант ( полная квадратриса ) имеет то преимущество, что функция ${\displaystyle y(x)}$ определена на всей вещественной оси, кроме особых точек ${\displaystyle \pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\dots }$ (В точке ${\displaystyle x=0}$ функция ${\displaystyle y(x)}$ доопределяется предельным переходом; см. её график при ${\displaystyle R=1}$ на рис. 4.) В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой :

${\displaystyle \rho ={\frac {R}{\pi }}\cdot {\frac {\pi -2\varphi }{\cos \varphi }}}$

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами . Точки кривой с ординатой ${\displaystyle y={\frac {2R}{\pi }}}$ (за исключением точки на оси ординат) являются точками перегиба .

Примечания

Литература

• Жуков А. В. от 29 февраля 2008 на Wayback Machine . М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
• Прасолов В. В. История математики, в двух томах. — М. : МЦНМО , 2018. — Т. 1. — 296 с. — ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9.
• Прасолов В. В. . — М. : Наука, 1992. — 80 с. — ( Популярные лекции по математике , выпуск 62).
• Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования . СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229.
• Савелов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения (справочное руководство). — М. : Физматлит, 1960. — С. 227—230. — 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7 .
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М. : Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 33—37. — 96 с.
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48) . — С. 3—15 .
• Щетников А. И. // Труды VIII Международных Колмогоровских чтений. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. — С. —396 . — ISBN 978-5-87555-630-2 .

Ссылки

• от 4 февраля 2012 на Wayback Machine at the MacTutor archive. (англ.)
• at . (англ.)