Группа кос — группа , образованная для заданного ${\displaystyle n}$ всеми косами из ${\displaystyle n}$ нитей относительно операции произведения кос. Является центральным объектом изучения теории кос и обозначается символом ${\displaystyle B_{n}}$ .

Группа кос наделяется рядом математических структур , происходящих из алгебры , комбинаторики , геометрии и топологии , и допускает множество различных интерпретаций.

Группа ${\displaystyle B_{n}}$ впервые явно описана Эмилем Артином в 1925 году (см. Теория кос § История ).

Определение

Группа кос имеет несколько различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Классический подход к определению группы кос основан на конструкции умножения кос . Так, произведением двух кос ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ из одинакового числа нитей называется коса ${\displaystyle \alpha \beta }$ , полученная путём соединения правых концов нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы .

Такое умножение задаёт на множестве ${\displaystyle B_{n}}$ всех кос из ${\displaystyle n}$ нитей ассоциативную бинарную операцию . Тривиальная коса из ${\displaystyle n}$ нитей, то есть такая, у которой все нити являются прямыми, является нейтральным элементом относительно умножения кос. Далее, все элементы из ${\displaystyle B_{n}}$ обратимы относительно данной операции, а именно, обратным элементом к данному является обратная коса , которая получается из исходной косы отражением относительно плоскости, перпендикулярной её нитям . Таким образом, вместе с операцией умножения множество ${\displaystyle B_{n}}$ является группой , которая называется группой кос из ${\displaystyle n}$ нитей .

Данный подход к определению группы кос восходит к теории узлов .

Задание образующими и соотношениями

Согласно теореме Артина , группа кос порождается образующими Артина и допускает в этих образующих следующее конечное задание :

${\displaystyle B_{n}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ для ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2;\ \ \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$ для ${\displaystyle |i-j|\geq 2\rangle }$ .

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к комбинаторной теории групп .

Траектории движения точек на плоскости

Группа кос может быть задана своим , а именно, она изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ неупорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек евклидовой плоскости :

${\displaystyle B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2}))}$ .

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к теории гомотопий .

Автоморфизмы свободной группы

Группа кос изоморфна группе сплетающих автоморфизмов свободной группы .

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа кос изоморфна группе классов отображений замкнутого с ${\displaystyle n}$ проколами :

${\displaystyle B_{n}\cong {\rm {Mod}}(D_{n}^{2};\partial D_{n}^{2})}$ .

Данный изоморфизм предоставляет независимое определение группы кос, которое восходит к двумерной топологии .

Свойства

Согласно теореме Артина , группы кос из малого числа нитей допускают следующие элементарные описания. Группа кос из одной нити тривиальна :

${\displaystyle B_{1}=\{1\}}$ .

Группа кос из двух нитей является бесконечной циклической :

${\displaystyle B_{2}\cong \langle \sigma _{1}\mid \varnothing \rangle \cong \mathbb {Z} }$ .

Группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника :

${\displaystyle B_{3}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle }$ .

При ${\displaystyle n\geq 3}$ ранг группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ равен двум. Так, она не является циклической (и даже не является абелевой ), но может быть порождена двумя элементами ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1}}$ .

Абелианизация и коммутант

При ${\displaystyle n\geq 2}$ абелианизация группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ изоморфна бесконечной циклической группе :

${\displaystyle B_{n}/[B_{n},B_{n}]\cong \mathbb {Z} }$ .

Гомоморфизм абелианизации ${\displaystyle B_{n}\to \mathbb {Z} }$ сопоставляет косе ${\displaystyle \beta }$ её экспоненциальную сумму ${\displaystyle {\rm {exp}}(\beta )}$ .

Таким образом, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю:

${\displaystyle [B_{n},B_{n}]=\{\beta \in B_{n}\mid {\rm {exp}}(\beta )=0\}}$ .

Например, группа ${\displaystyle [B_{3},B_{3}]}$ является свободной ранга два с базисом ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}^{-1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}}$ .

Центр

Центр группы кос является циклическим. А именно, при ${\displaystyle n\geq 3}$ он порождается полным оборотом :

${\displaystyle Z(B_{n})=\langle \Delta _{n}^{2}\rangle }$ .

Кроме того,

${\displaystyle Z(B_{2})=\langle \Delta _{1}\rangle =B_{2}}$ .

Данное свойство позволяет установить, что при ${\displaystyle n\neq m}$ группы ${\displaystyle B_{n}}$ и ${\displaystyle B_{m}}$ не изоморфны .

Автоморфизмы

Задача описания автоморфизмов группы кос была поставлена Эмилем Артином в 1947 году и решена в 1981 году в работе и .

При ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle {\rm {Out}}(B_{n})}$ группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ является циклической и порождена классом автоморфизма-отражения ${\displaystyle \tau _{n}}$ , действующего на образующих Артина формулой

${\displaystyle \sigma _{i}\mapsto \sigma _{i}^{-1}}$ .

Данный автоморфизм имеет порядок два, и имеется изоморфизм

${\displaystyle {\rm {Out}}(B_{n})\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ .

Точная последовательность

${\displaystyle 1\to {\rm {Inn}}(B_{n})\to {\rm {Aut}}(B_{n})\to {\rm {Out}}(B_{n})\to 1}$

расщепляется, и группа автоморфизмов группы кос раскладывается в полупрямое произведение :

${\displaystyle {\rm {Aut}}(B_{n})\cong {\rm {Inn}}(B_{n})\rtimes \langle \tau _{n}\rangle }$ .

Группа внутренних автоморфизмов ${\displaystyle {\rm {Inn}}(B_{n})}$ группы кос, будучи изоморфной её факторгруппе по центру, также изоморфна группе классов отображений сферы с ${\displaystyle n}$ проколами:

${\displaystyle {\rm {Inn}}(B_{n})\cong B_{n}/Z(B_{n})\cong {\rm {Mod}}(S_{n}^{2})}$ .

Например, группа внутренних автоморфизмов группы кос из трёх нитей изоморфна модулярной группе :

${\displaystyle {\rm {Inn}}(B_{3})\cong B_{3}/Z(B_{3})\cong {\rm {Mod}}(S_{3}^{2})\cong {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ .

Подводя итог, группа автоморфизмов группы кос изоморфна расширенной группе классов отображений сферы с ${\displaystyle n}$ проколами:

${\displaystyle {\rm {Aut}}(B_{n})\cong {\rm {Mod}}^{\pm }(S_{n}^{2})}$ .

Кручение

При ${\displaystyle n\geq 2}$ группа кос не имеет кручения . Иными словами, любая коса, кроме тривиальной, имеет бесконечный порядок.

Одна из причин отсутствия кручения — наличие линейных порядков на группах кос . Например, порядка Деорнуа .

Другая причина состоит в том, что фундаментальная группа любого асферического конечномерного CW-комплекса не имеет кручения, а конфигурационное пространство ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ является асферическим многообразием .

Остаточная конечность и хопфовость

При ${\displaystyle n\geq 2}$ группа кос ${\displaystyle B_{n}}$ является остаточно конечной . В частности, она хопфова .

Извлечение корней

Для данных косы ${\displaystyle \beta \in B_{n}}$ и целого числа ${\displaystyle m}$ задача определения того, существует ли коса ${\displaystyle \alpha \in B_{n}}$ со свойством ${\displaystyle \alpha ^{m}=\beta }$ , алгоритмически разрешима. Но такая коса ${\displaystyle \alpha }$ не обязательно единственна. Например, для любого ${\displaystyle n\geq 2}$ в группе кос ${\displaystyle B_{n}}$ фундаментальная коса ${\displaystyle \Delta _{n}^{2}}$ допускает следующие представления:

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1})^{n}=(\sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{1})^{n}}$ .

При ${\displaystyle n\geq 3}$ косы ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n-1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{n-1}\sigma _{n-2}\ldots \sigma _{1}}$ различны, поскольку, например, различны их перестановки .

В сборнике открытых проблем комбинаторной теории групп Геннадий Семёнович Маканин сформулировал гипотезу о том, что любые два решения предыдущего уравнения сопряжены в группе кос. Вскоре, с помощью , она была доказана . Таким образом, извлечение корней из кос является однозначным с точностью до сопряженности .

Псевдохарактеры

При ${\displaystyle n\geq 3}$ пространство псевдохарактеров группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ бесконечномерно . Примечательный псевдохарактер на группе кос задаёт закрученность косы .

Линейность

При всех ${\displaystyle n\geq 1}$ группа кос ${\displaystyle B_{n}}$ является линейной , то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, является точным . Представление Бурау , напротив, имеет нетривиальное ядро при всех ${\displaystyle n\geq 5}$ , но является точным при ${\displaystyle n\leq 3}$ , а вопрос о его точности при ${\displaystyle n=4}$ остаётся открытым.

Подгруппы

Группа крашеных кос

Множество всех крашеных кос из ${\displaystyle n}$ нитей образует нормальную подгруппу группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ , которая обозначается символом ${\displaystyle P_{n}}$ .

Для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ группа ${\displaystyle P_{n}}$ является конечнопорождённой , а именно, она порождается ${\displaystyle n(n-1)/2}$ косами

${\displaystyle A_{i,j}:=\sigma _{j-1}\sigma _{j-2}\ldots \sigma _{i+1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{i+1}^{-1}\ldots \sigma _{j-2}^{-1}\sigma _{j-1}^{-1},}$

называющимися образующими Маркова , где ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ таковы, что ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n.}$

Факторгруппы

Симметрическая группа

Сопоставление ${\displaystyle \beta \mapsto \pi _{\beta }}$ косе её перестановки задаёт групповой эпиморфизм

${\displaystyle \pi \colon B_{n}\to S_{n}}$

из группы кос в симметрическую группу . Он переводит образующие Артина ${\displaystyle \sigma _{i}}$ в элементарные транспозиции ${\displaystyle s_{i}:=(i,i+1)}$ .

С помощью данного эпиморфизма косы из ${\displaystyle n}$ нитей можно рассматривать как физический аналог перестановок множества ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ . Утверждение о том, что каждая коса представляется в виде произведения образующих Артина и их обратных, обобщает тот факт, что каждую перестановку можно представить в виде композиции транспозиций ${\displaystyle s_{i}}$ . Принципиальное отличие состоит в том, что ${\displaystyle \sigma _{i}\neq \sigma _{i}^{-1}}$ , в то время как ${\displaystyle s_{i}=s_{i}^{-1}}$ . Таким образом, грубо говоря, при описании косы в терминах элементарных транспозиций ${\displaystyle (i,i+1)}$ необходимо задать не только индексы ${\displaystyle i}$ , но то, ‎как именно на этом участке нити под номерами ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$ меняются местами — проходит первая или под второй. Игнорирование этой информации и приводит к понятию перестановки, соответствующей косе.

Ядром эпиморфизма ${\displaystyle \pi }$ является группа крашеных кос ${\displaystyle P_{n}}$ . Согласно теореме о гомоморфизме ,

${\displaystyle B_{n}/P_{n}\cong S_{n}}$ .

В частности, группа крашеных кос является нормальной подгруппой группы ${\displaystyle B_{n}}$ индекса ${\displaystyle n!}$ .

Усечённая группа кос

Для ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$ группа ${\displaystyle B_{n}(m)}$ , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ , а также дополнительной серией соотношений вида

${\displaystyle \sigma _{i}^{m}=1}$ для ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1,}$

называется усечённой группой кос .

Например, при ${\displaystyle m=2}$ данное описание является стандартным заданием симметрической группы:

${\displaystyle B_{n}(2)\cong S_{n}}$ .

Две косы из ${\displaystyle n}$ нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

${\displaystyle B_{n}\to B_{n}(m)}$

в том и только том случае, если одну косу можно получить из другой конечной последовательностью ${\displaystyle m}$ -преобразований (см. Коса (математика) § Локальные преобразования кос ).

Как показал Гарольд Коксетер , при ${\displaystyle n,m\geq 3}$ группа ${\displaystyle B_{n}(m)}$ конечна тогда и только тогда, когда

${\displaystyle (n,m)\in \{(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)\}}$ ,

причем в этих случаях порядок группы ${\displaystyle B_{n}(m)}$ равен, соответственно, ${\displaystyle 24,}$ ${\displaystyle 96,}$ ${\displaystyle 600,}$ ${\displaystyle 648}$ и ${\displaystyle 155520.}$

Группа гомотопических кос

Для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ группа ${\displaystyle {\hat {B}}_{n}}$ , заданная стандартными образующими и соотношениями группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ , а также дополнительной бесконечной серией соотношений вида

${\displaystyle [A_{j,k},gA_{j,k}g^{-1}]=1}$ для ${\displaystyle 1\leq j<k\leq n}$ и элемента ${\displaystyle g}$ подгруппы группы крашеных кос, порождённой элементами ${\displaystyle A_{1,k},A_{2,k},\ldots ,A_{k-1,k},}$

где символ ${\displaystyle [x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}}$ обозначает коммутатор элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ , а символ ${\displaystyle A_{j,k}}$ обозначает образующую Маркова группы крашеных кос, называется группой гомотопических кос .

Две косы из ${\displaystyle n}$ нитей имеют совпадающие образы относительно канонической проекции

${\displaystyle B_{n}\to {\hat {B}}_{n}}$

в том и только том случае, если они гомотопны .

См. также

• Коса (математика)
• Теория кос
• Группа крашеных кос

Примечания

Литература

• Сосинский, А. Б . (рус.) . — М. : МЦНМО , 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6 .
• Мантуров, В. О . // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО , 2010. — Т. 3 , вып. 14 . — С. 107–142 . — ISBN 978-5-94057-597-9 .
• Сосинский, А. Б . (рус.) . — М. : МЦНМО , 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0 .
• Кассель, К , Тураев, В. Г . Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Прасолов, В. В , Сосинский, А. Б . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .
• Мантуров, В. О . Теория узлов (рус.) . — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3 .
• Murasugi, K , Kurpita, B. I . A Study of Braids. — Springer , 1999. — 277 с. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-5767-4 . — doi : .

Ссылки

• Artin, E. . (англ.) // Annals of Mathematics . — 1947. — Vol. 48 , no. 1 . — P. 101–126 . — doi : .
• Baumslag, G , Myasnikov, A. G , Shpilrain V . (англ.) // Combinatorial and Geometric Group Theory. — Contemporary Mathematics, 2002. — Vol. 296 , iss. 2 . — P. 1-38 . — ISBN 978-0-8218-7886-6 . — doi : .
• Gonzalez-Meneses, J . . — , 2003. — № 3 . — С. 1103–1118 .
• Малютин, А. В. . // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21 , вып. 2 . — С. 113—135 .
• Dyer, J. L , Grossman, K. E . . — American Journal of Mathematics , 1981. — Т. 103 , № 6 . — С. 1151–1169 .
• at Contains extensive library for computations with Braid Groups
• P. Fabel, , Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 14, No. 8 (2005) 979—991
• P. Fabel, , Journal of Knot Theory and its Ramifications, Vol. 15, No. 1 (2006) 21-29
• Группа кос — статья из Математической энциклопедии . Чернавский А. В.
• от 4 июня 2013 на Wayback Machine , моделирующее группу B ₅ .
• C. Nayak and F. Wilczek’s connection of projective braid group representations to the fractional quantum Hall effect от 5 октября 2018 на Wayback Machine
• Presentation for FradkinFest by C. V. Nayak
• N. Read’s criticism of the reality of Wilczek-Nayak representation от 5 октября 2018 на Wayback Machine