Архиме́дова спира́ль — спираль , плоская кривая , траектория точки M (см. рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O , в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O . Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV . Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Свойства этой спирали описаны древнегреческим учёным Архимедом в его сочинении « ».

Описание

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1) ${\displaystyle \rho =k\varphi ,}$

где k — смещение точки M по лучу r при повороте на угол, равный одному радиану.

Повороту прямой на ${\displaystyle 2\pi }$ соответствует смещение a = | BM | = | MA | = ${\displaystyle 2k\pi }$ . Число a — называется « шагом спирали ». Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2\pi }}\varphi .}$

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. рис. 2), при вращении по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям ${\displaystyle \varphi }$ соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали ${\displaystyle a=2k\pi }$ . При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.

Площадь сектора

Площадь ${\displaystyle S}$ сектора OCM:

${\displaystyle \left(2\right)}$ ${\displaystyle S={\frac {1}{6}}\varphi \left(\rho ^{2}+\rho \rho '+\rho '^{2}\right)}$ ,

где ${\displaystyle \rho =OC}$ , ${\displaystyle \rho '=OM}$ , ${\displaystyle \varphi =\angle COM}$ .

При ${\displaystyle \rho =0}$ , ${\displaystyle \rho '=a}$ , ${\displaystyle \varphi =2\pi }$ , формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{3}}\pi a^{2}={\frac {1}{3}}S'_{1}}$ ,

где ${\displaystyle S'_{1}}$ — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — ${\displaystyle a}$ .

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом .

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

Бесконечно малый отрезок дуги ${\displaystyle dl}$ равен (см. рис.3):

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+dh^{2}}}}$ ,

где ${\displaystyle d\rho }$ — приращение радиуса ${\displaystyle \rho }$ , при приращении угла ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle d\varphi }$ . Для бесконечно малого приращения угла ${\displaystyle d\varphi }$ справедливо:

${\displaystyle dh^{2}=\left(\rho d\varphi \right)^{2}}$ .

Поэтому:

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$

так как ${\displaystyle \rho =k\varphi }$ и

${\displaystyle d\rho =kd\varphi }$

или

${\displaystyle dl={\sqrt {k^{2}d\varphi ^{2}+k^{2}\varphi ^{2}d\varphi ^{2}}}}$

${\displaystyle dl=kd\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}$ .

Длина дуги ${\displaystyle L}$ равна интегралу от ${\displaystyle dl}$ по ${\displaystyle d\varphi }$ в пределах от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \varphi }$ :

${\displaystyle L=\int \limits _{0}^{\varphi }k{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}d\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {k}{2}}\left[\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]}$ .

Трёхмерное обобщение

Трёхмерным обобщением архимедовой спирали можно считать проекцию конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса.

Примечания

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме