Пра́вильный семнадцатиуго́льник — геометрическая фигура , принадлежащая к группе правильных многоугольников . Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов , все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности . Среди других правильных многоугольников с больши́м (больше пяти ) простым числом сторон интересен тем, что его можно построить при помощи циркуля и линейки (так, семи- , одиннадцати- и тринадцатиугольники построить циркулем и линейкой нельзя).

Свойства

Центральный угол α равен ${\displaystyle {\tfrac {360}{17}}^{\circ }=21^{\circ }10'35{\tfrac {5}{17}}''\approx 21{,}17647059^{\circ }}$ .

Отношение длины стороны к радиусу описанной окружности составляет

${\displaystyle s=2\cdot r_{u}\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\approx r_{u}\cdot 0{,}3675.}$

Правильный семнадцатиугольник можно построить при помощи циркуля и линейки , что было доказано Гауссом в монографии « Арифметические исследования » (1796 год). Им же найдено значение косинуса центрального угла семнадцатиугольника:

${\displaystyle \cos {\frac {360}{17}}^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right).}$

В этой же работе Гаусс доказал, что если нечётные простые делители числа n являются различными простыми Ферма ( числа Ферма ), то есть простыми числами вида ${\displaystyle F_{m}=2^{2^{m}}+1,}$ то правильный n-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки (см. Теорема Гаусса — Ванцеля ).

Факты

• Гаусс был настолько воодушевлён своим открытием, что в конце жизни завещал, чтобы правильный семнадцатиугольник высекли на его могиле. Скульптор отказался это сделать, утверждая, что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от окружности.

• В 1893 году опубликовал явное описание построения правильного семнадцатиугольника в 64 шагах. Ниже приводится это построение.

Построение

Точное построение

1. Проводим большую окружность k ₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O .
2. Проводим её диаметр AB .
3. Строим к нему перпендикуляр m , пересекающий k₁ в точках C и D .
4. Отмечаем точку E — середину DO .
5. Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA .
6. Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
7. Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G .
8. Восстанавливаем s — перпендикуляр к w₂ из точки F .
9. Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H .
10. Строим окружность Фалеса ( k ₂) на диаметре HA с центром в точке M . Она пересекается с CD в точках J и K .
11. Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K . Она пересекается с AB в точках L и N . Здесь важно не перепутать N с M , они расположены очень близко.
12. Строим касательную к k₃ через N .

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построение

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

1. Ставим на плоскости точку M , строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB ;
2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C , D и E ).
3. Делим пополам отрезок EB (точка F ).
4. строим перпендикуляр к AB в точке F .

• Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B .

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Анимированное построение Эрхингера

Звёздчатые формы

У правильного семнадцатиугольника существуют 7 правильных звёздчатых форм.

• 
  {17/2}
• 
  {17/3}
• 
  {17/4}
• 
  {17/5}
• 
  {17/6}
• 
  {17/7}
• 
  {17/8}

См. также

• Теорема Гаусса — Ванцеля

Ссылки

• Karin Reich . Die Entdeckung und frühe Rezeption der Konstruierbarkeit des regelmäßigen 17-Ecks und dessen geometrische Konstruktion durch Johannes Erchinger (1825). // В кн.: Mathesis, Festschrift zum siebzigsten Geburtstag von Matthias Schramm . Hrsg. von Rüdiger Thiele, Berlin, Diepholz 2000, стр. 101—118.
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .