Кубический сплайн — гладкая функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых она совпадает с некоторым кубическим многочленом (полиномом).

Описание

Функция ${\displaystyle f(x)}$ задана на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ , разбитом на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ , ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b}$ . Кубическим сплайном дефекта 1 (разность между степенью многочлена и порядком его производной) называется функция ${\displaystyle S(x)}$ , которая:

• на каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ является многочленом степени не выше третьей;
• имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ ;
• в точках ${\displaystyle x_{i}}$ выполняется равенство ${\displaystyle S(x_{i})=f(x_{i})}$ , т. е. сплайн ${\displaystyle S(x)}$ интерполирует функцию ${\displaystyle f}$ в точках ${\displaystyle x_{i}}$ .

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить дополнительные требования — граничные условия:

1. "Естественный сплайн" — граничные условия вида: ${\displaystyle S''(a)=S''(b)=0}$ ;
2. Непрерывность второй производной — граничные условия вида: ${\displaystyle S'''(a)=S'''(b)=0}$ ;
3. Периодический сплайн — граничные условия вида: ${\displaystyle S'(a)=S'(b)}$ и ${\displaystyle S''(a)=S''(b)}$ .

Теорема: Для любой функции ${\displaystyle f}$ и любого разбиения отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ на части ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$ существует ровно один естественный сплайн ${\displaystyle S_{i}(x)}$ , удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга -Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение

На каждом отрезке ${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}],\ i={\overline {1,N}}}$ функция ${\displaystyle S(x)}$ есть полином третьей степени ${\displaystyle S_{i}(x)}$ , коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства ${\displaystyle S_{i}(x)}$ в виде:

${\displaystyle S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i}}(x-x_{i})^{2}+{d_{i}}(x-x_{i})^{3}}$

тогда

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=2c_{i},\quad S'''_{i}\left(x_{i}\right)=6d_{i}\quad i={\overline {1,N}}.}$

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1}),}$

${\displaystyle S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1}),}$

${\displaystyle S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1}),}$

где ${\displaystyle i}$ меняется от ${\displaystyle 1}$ до ${\displaystyle N,}$ а условия интерполяции в виде

${\displaystyle S_{i}\left(x_{i}\right)=f(x_{i}).}$

Обозначим ${\displaystyle :\quad h_{i}=x_{i}-x_{i-1}\quad (i={\overline {1,N}}),\quad f_{i}=f(x_{i})\quad (i={\overline {0,N}})}$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов "Естественного сплайна":

${\displaystyle a_{i}=f(x_{i})}$ ;

${\displaystyle d_{i}={\frac {c_{i}-c_{i-1}}{3\cdot h_{i}}}}$ ;

${\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}-{\frac {2\cdot c_{i-1}+c_{i}}{3}}\cdot h_{i}}$ ;

${\displaystyle c_{i-1}\cdot h_{i}+2\cdot c_{i}\cdot (h_{i}+h_{i+1})+c_{i+1}\cdot h_{i+1}=3\cdot \left({\frac {a_{i+1}-a_{i}}{h_{i+1}}}-{\frac {a_{i}-a_{i-1}}{h_{i}}}\right)}$ ,

причем ${\displaystyle c_{N}=S''(x_{N})=0}$ и ${\displaystyle c_{1}-3\cdot d_{1}\cdot h_{1}=S''(x_{0})=0}$ .

Если учесть, что ${\displaystyle c_{0}=c_{N}=0}$ , то вычисление ${\displaystyle c}$ можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы .

Литература

1. de Boor, Carl. A Practical Guide to Splines. — New York: Springer-Verlag, 1978.
2. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М. : Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4 .
3. Костомаров Д. П. , Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
4. Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М. : Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.

Ссылки

Примечания