Interested Article - Кривая Циндлера

Кривая Циндлера: все хорды, делящие её длину пополам, одинаковы.

Кривая Циндлера — простая замкнутая плоская кривая, у которой все хорды , делящие её длину пополам, имеют равные длины. Эквивалентное определение — простая замкнутая плоская кривая, все хорды которой, делящие ограниченную ей площадь фигуры пополам, имеют равные длины. Простейший пример такой кривой — окружность .

Впервые в такой общности исследованы австрийским математиком ; дальнейшие результаты получил Герман Ауэрбах в 1938 году , он же впервые назвал класс кривых именем Циндлера. В частности Ауэрбах доказал, что объект, ограниченный кривой Циндлера, обладающий половиной плотности воды, будет плавать в воде в любом положении. Это даёт отрицательный ответ на двумерную версию задачи Станислава Улама о плавающих телах (задача 19 из Шотландской книги ), в которой задаётся вопрос, является ли диск единственной фигурой однородной плотности, которая будет плавать в воде в любом положении .

Кривые Циндлера также связаны с задачей о том, возможно ли определить направление движения велосипеда, учитывая только замкнутые заднюю и переднюю колеи .

Примеры кривой Циндлера: для $a=8$ (синяя), $a=16$ (зелёная) и $a=24$ (красная).

Пример — любая из кривых с вещественным параметром $a>4$ :

z(u)=x(u)+iy(u)=e^{2iu}+2e^{-iu}+ae^{iu/2}\;,\ u\in [0;4\pi ]

является кривой Циндлера . При $a\geqslant 24$ такая кривая выпукла . Для $a\geqslant 8$ эти кривые имеют отношение к кривым постоянной ширины ^{[

уточнить

]} .

Примечания

В исходной задаче спрашивается, является ли сфера единственным твёрдым телом, обладающим тем же свойством в трёхмерном пространстве.
Bor, Gil; Levi, Mark; Perline, Ron; Tabachnikov, Sergei (2018). . International Mathematics Research Notices (англ.) . 2020 (9): 2698—2768. doi : .
W. Wunderlich: Algebraische Beispiele ebener und räumlicher Zindler-Kurven . Publ. Math. Debrecen 24 (1977), 289—297.(S. 291).

Ссылки

Herman Auerbach: (PDF; 796 kB) , Studia Mathematica 7 (1938), 121—142.
K. L. Mampel: , Journal für reine und angewandte Mathematik 234 (1969), 12-44.
Konrad Zindler: Über konvexe Gebilde. II. Teil , Monatshefte für Mathematik und Physik 31 (1921), 25-56.
H. Martini, S. Wu: On Zindler Curves in Normed Planes , Canadian Mathematical Bulletin 55 (2012), 767—773.
J. Bracho, L. Montejano, D. Oliveros: Carousels, Zindler curves and the floating body problem , Periodica Mathematica Hungarica 49 (2004), 9-23.
P. M. Gruber, J.M. Wills: Convexity and Its Applications , Springer, 1983, ISBN 978-3-0348-5860-1 , p. 58.