Суперэллипс (кривая Ламе ) — геометрическая кривая, задаваемая в декартовых координатах уравнением

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$

где n , a и b — положительные числа.

Формула задаёт замкнутую кривую, ограниченную прямоугольником − a ≤ x ≤ + a и − b ≤ y ≤ + b . Параметры a и b называются полуосями или полудиаметрами кривой.

Когда n заключено между 0 и 1, суперэллипс выглядит как четырёхконечная звезда с вогнутыми сторонами. В частности, при n = 1/2 стороны звезды являются параболами .

Когда n = 1, кривая представляет собой ромб с вершинами (± a , 0) и (0, ± b ). При n в промежутке от 1 до 2 кривая выглядит как ромб с выпуклыми сторонами.

При n = 2 кривая превращается в эллипс (в частности, при a = b — в окружность). При n > 2, кривая выглядит как прямоугольник со скруглёнными углами. В точках (± a , 0) and (0, ± b ) кривизна кривой равна нулю.

При n < 2 кривая иногда называется «гипоэллипсом», а при n > 2 — «гиперэллипсом».

Экстремальные точки суперэллипса равны (± a , 0) и (0, ± b ), а координаты «углов» (то есть точек пересечения с диагоналями описанного прямоугольника) — (± sa, ±sb ), где ${\displaystyle s=2^{-1/n}}$ ).

Алгебраические свойства

Когда n представляет собой ненулевое рациональное число p / q , суперэллипс представляет собой алгебраическую кривую . Для положительных n порядок равен pq , для отрицательных — 2 pq . В частности, когда a = b = 1 и n чётное целое, суперэллипс представляет собой кривую Ферма степени n . В этом случае она не является сингулярной, хотя в общем случае (англ.) ( .

Например, если x ^4/3 + y ^4/3 = 1, то кривая является алгебраической кривой степени 12 третьего рода, задаваемая неявным уравнением

${\displaystyle (x^{4}+y^{4})^{3}-3(x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4})(x^{4}+3x^{2}y^{2}+y^{4})+}$

${\displaystyle +3(x^{4}+y^{4})-1=0,}$

или параметрическим уравнением

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}$

Площадь суперэллипса выражается формулой

${\displaystyle S=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}$

Обобщения

Суперэллипс можно обобщить в виде:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}$

или

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y(\theta )&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}$

(здесь ${\displaystyle \theta }$ — параметр, который не следует интерпретировать как угол).

История

Суперэллипс в виде уравнения в декартовых координатах как обобщение обычного эллипса впервые предложил Габриель Ламе (1795—1870).

Иногда «изобретение» суперэллипса ошибочно приписывают датскому поэту и учёному Питу Хейну (1905—1996). В 1959 году архитектурное управление Стокгольма объявила конкурс на проектирование круговой развязки вокруг площади Сергельсторг . Пит Хейн стал победителем конкурса, предложив транспортное кольцо в виде суперэллипса с n = 2,5 и a / b = 6/5 . Реконструкция площади была завершена в 1967 году. Хейн использовал суперэллипс в других дизайнерских разработках — кроватях, тарелках, столах . Вращая суперэллипс вокруг длинной оси, он получил « суперъяйцо », которое стало популярной игрушкой, поскольку в отличие от обычного яйца могло стоять на плоской поверхности.

В 1968 году, когда делегации на переговорах в Париже по вьетнамской войне не могли прийти к согласию о форме стола, был предложен стол в виде суперэллипса . Суперэллиптическую форму имеет стадион «Ацтека» в Мехико , главный стадион Олимпийских игр 1968 года.

в 1973 году разработал картографическую проекцию , известную как гиперэллиптическая проекция Тоблера , в которой меридианы представляют собой суперэллипсы .

Шрифт Melior, созданный Германом Цапфом в 1952 году имеет суперэллиптические буквы «o». Считается, что Цапф выбрал форму буквы интуитивно, не имея понятия о математическом содержании этой формы, и только позже Пит Хейн отметил сходство элементов некоторых букв шрифта с суперэллипсами. 30 лет спустя Дональд Кнут встроил в семейство своих шрифтов Computer Modern возможность выбора между настоящими эллипсами и суперэллипсами (обе формы апроксимировались кубическими сплайнами ).

На логотипе футбольной команды « Питтсбург Стилерз » изображены три четырёхугольных звезды, которые представляют собой суперэллипсы с n = 0,5.

В мобильной операционной системе iOS , начиная с версии 7, суперэллипсы используются для формирования внешнего контура иконок (вместо квадратов со скруглёнными углами) и группировки иконок (вместо прямоугольников со спрямлёнными углами). В iOS используются параметры a = b = 60 и n = 5.

См. также

• Астроида — суперэллипс с n = 2/3 и a = b , гипоциклоида с четырьмя углами.
  • Дельтоида — трёхугольная гипоциклоида .
• — суперэллипс n = 4 и a = b , выглядящий как «четырёхугольное колесо».
  • Треугольник Рёло — «трёхугольное колесо».
• Суперформула — обобщение суперэллипса.
• Суперквадрики — трёхмерные аналоги суперэллипсов.

Примечания

Ссылки

• Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa , Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D. dissertation using superellipsoids)
• Barr, Alan H. (1992), "Rigid Physically Based Superquadrics", in Kirk, David (ed.), Graphics Gems III , Academic Press, pp. 137–159 ( : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
• Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Antwerp: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
• Sokolov, D. D. (2001), "Lamé curve",
• and от 6 декабря 2007 на Wayback Machine « ».