Циссоида — кривая, созданная из двух заданных кривых C ₁ , C ₂ относительно точки O ( полюса ). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C ₁ в точке P ₁ , а C ₂ — в точке P ₂ . Пусть P — точка на L такая, что OP = P ₁ P ₂ (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O , что и P ₂ от P ₁ ). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C ₁ , C ₂ относительно O .

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP ₁ + OP ₂ . Это определение эквивалентно приведённому, если C ₁ заменить её отражением относительно O . Также можно определить P как середину P ₁ и P ₂ . Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.

Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeidēs «подобный плющу » — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».

Строфоида есть частный случай .

Уравнения

Если C ₁ и C ₂ заданы в полярных координатах функциями ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ и ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$ соответственно, то уравнение ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$ задаёт циссоиду C ₁ и C ₂ относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C ₁ можно задать как

${\displaystyle r=-f_{1}(\theta +\pi ),\ r=-f_{1}(\theta -\pi ),\ r=f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$ .

Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi ),\ r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi ),\ }$

${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi ),\ r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi ),\ \dots }$ .

Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.

Например, пусть C ₁ и C ₂ — это эллипсы

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$ .

Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0}$ ,

то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }}}$ ,

так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением: ${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$ , и эта кривая имеет форму овала.

Если C ₁ и C ₂ заданы параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

и

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px}$ ,

то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением: ${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px}$ .

Специальные случаи

Если C ₁ является окружностью с центром в точке O , то циссоида является конхоидой кривой C ₂ .

Если C ₁ и C ₂ — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы

Пусть C ₁ и C ₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C ₁ и C ₂ задаются в полярных координатах уравнениями

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

и

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$ .

Мы можем повернуть на угол ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha _{2})/2}$ так, что можем предположить, что ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$ . Тогда циссоида C ₁ и C ₂ относительно начала координат задаётся уравнением

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$ .

Обозначив константные выражения, получим

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

что в декартовых координатах превращается в

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$ .

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника

Циссоида Зарадника (названа по имени ) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

• Трисектриса Маклорена , задаваемая формулой

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ относительно начала координат.

• Правая строфоида

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-a}$ относительно начала координат.

• Циссоида Диокла

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-2a}$ относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

• Циссоида окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=ka}$ , где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

• Декартов лист

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

является циссоидой эллипса ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ и прямой ${\displaystyle x+y=-a}$ относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$ ,

а эллипс можно задать как

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$ .

Так что циссоида задаётся уравнением

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

и это уравнение является параметрической форой листа.

См. также

• Конхоида
• Строфоида
• Циссоида Диокла

Примечания

Литература

• Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• J. Dennis Lawrence. . — Dover Publications, 1972. — С. —56. — ISBN 0-486-60288-5 .
• Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4 .
• Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• (на французском)
• (на французском)

Для улучшения этой статьи желательно : Проверить качество перевода с иностранного языка. После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.