Эвольве́нта (от лат. evolvens «разворачивающийся») плоской линии ${\displaystyle L}$ — это линия ${\displaystyle L_{*}}$ , по отношению к которой ${\displaystyle L}$ является эволютой .

Иными словами — кривая , нормаль в каждой точке которой является касательной к исходной кривой.

Если линия ${\displaystyle L}$ задана уравнением ${\displaystyle {\bar {r}}={\bar {r}}(s)}$ (где ${\displaystyle s}$ — натуральный параметр ), то уравнение её эвольвенты имеет вид

${\displaystyle {\bar {\psi }}={\bar {r}}+(\alpha -s){\dot {\bar {r}}}}$ ,

где ${\displaystyle \alpha }$ — произвольный параметр.

Для параметрически заданной кривой уравнение эвольвенты

${\displaystyle X=x-{\frac {x'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

${\displaystyle Y=y-{\frac {y'\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$

Пример

Эвольвентой окружности является спиралевидная кривая. Её уравнения имеют следующий вид:

${\displaystyle x=r(\cos(t)+t\sin(t))}$

${\displaystyle y=r(\sin(t)-t\cos(t))}$

где ${\displaystyle t}$ — угол, a ${\displaystyle r}$ — радиус

Применения

• В технике эвольвенту окружности используют как профиль зуба для колёс зубчатой передачи и в спиральных вакуумных насосах.

См. также

• Эволюта
• Эвольвентное зацепление
• Параллельная кривая
• Каустика

Это заготовка статьи по математике . Помогите Википедии, дополнив её.

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 5 декабря 2019 )