Тришестиугольная мозаика
Тип	полуправильная мозаика
Конфигурация вершины	(3.6) 2
Символ Шлефли	r{6,3} или ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$ h 2 {6,3}
(англ.) (	2 | 6 3 3 3 | 3
Диаграмма Коксетера — Дынкина	=
Симметрии	(англ.) ( , [6,3], (*632)
Симметрии вращения	(англ.) ( , [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Обозначение Бауэрса	That
Двойственные соты	ромбическая мозаика
Свойства	вершинно транзитивная рёберно транзитивная

Тришестиугольная мозаика — это одна из 11 однородных мозаик на евклидовой плоскости из правильных многоугольников . Мозаика состоит из правильных треугольников и правильных шестиугольников , расположенных так, что каждый шестиугольник окружён треугольниками, и наоборот. Название мозаики вызвано тем фактом, что она комбинирует правильную шестиугольную мозаику и правильную треугольную мозаику . Два шестиугольника и два треугольника чередуются вокруг каждой вершины, а рёбра образуют бесконечную конфигурацию прямых . Двойственная мозаика — ромбическая .

Мозаика и её место в классификации однородных мозаик были приведены Иоганном Кеплером ещё в 1619 в его книге Harmonices Mundi . Узор давно использовался в японском лозоплетении , где он назывался кагомэ . Японский термин для этого узора был позаимствован физиками, где он получил название решётка кагомэ . Узор встречается в кристаллических структурах некоторых минералов. Конвей использовал название hexadeltille (шести-дельта-мозаика), скомбинировав части слов hex-/deltа/tille .

Кагомэ

Кагомэ ( яп. ) — это традиционный японский узор плетения бамбука. Название состоит из слов каго (корзина) и мэ (глаз), последнее относится к отверстиям в бамбуковой корзине.

Кагомэ представляет собой переплетённую конфигурацию прутьев, образующая узор тришестиугольной мозаики. Плетение даёт кагоме симметрию хиральной (англ.) ( , группы p6.

Решётка кагомэ

Термин решётка кагомэ ввёл японский физик, иностранный член РАН (англ.) ( . Термин впервые появился в статье 1951, написанной Иширо Сёдзи под руководством Фусими . Решётка кагомэ в этом смысле состоит из вершин и рёбер тришестиугольной мозаики. Вопреки названию, эти пересечения не образуют математическую решётку .

Связанная трёхмерная структура, образованная вершинами и рёбрами (англ.) ( , заполняющих пространство правильными тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами , называется гиперрешёткой кагомэ . Она представляется вершинами и рёбрами четвертькубических сот, заполняющих пространство тетраэдрами и усечёнными тетраэдрами . Структура содержит четыре множества параллельных плоскостей, и каждая плоскость является двумерной решёткой кагомэ. Другое представление в трёхмерном пространстве имеет параллельные уровни двумерных решёток и называется орторомбическая решётка кагомэ . Тришестиугольные призматические соты представляют рёбра и вершины этой решётки.

Некоторые минералы , а именно ярозит и гербертсмитит , содержат двумерные решётки или трёхмерные решётки кагомэ, образованные из атомов в кристаллической структуре . Эти минералы показывают физические свойства, связанные с магнитами с геометрической фрустрацией . Например, распределение спинов магнитных ионов в Co ₃ V ₂ O ₈ располагается в виде решётки кагомэ и показывает удивительное магнитное поведение при низких температурах . Термин имеет сейчас широкое распространение в научной литературе, особенно в теоретическом изучении магнитных свойств теоретической решётки кагомэ.

Симметрия

Тришестиугольная мозаика имеет символ Шлефли r{6,3} и диаграмму Коксетера — Дынкина , символизирующие факт, что мозаика является полноусечённой шестиугольной мозаикой , {6,3}. Её симметрии можно описать группой обоев p6mm, (*632) . Мозаика может быть получена построением Витхоффа из фундаментальных областей отражений этой группы . Тришестиугольная мозаика является квазиправильной мозаикой , чередующей два типа многоугольников и имеющей конфигурацию вершины (3.6) ² . Мозаика является также однородной мозаикой , одной из восьми, полученных из правильной шестиугольной мозаики.

Однородные раскраски

Существует две различные однородные раскраски тришестиугольной мозаики. Эти две раскраски, если указать индексы цветов для 4 граней вокруг вершины (3.6.3.6), имеют наборы индексов 1212 и 1232 . Вторая раскраска называется скошенной шестиугольной мозаикой , h ₂ {6,3}, с двумя цветами треугольников из симметрии (*333) группы обоев p3m1 .

Симметрия	p6m, (*632)	p3m, (*333)
Раскраска
фундаментальная область
(англ.) (	2 | 6 3	3 3 | 3
диаграмма Коксетера — Дынкина		=
символ Шлефли	r{6,3}	r{3 [3] } = h 2 {6,3}

Топологически эквивалентные мозаики

Тришестиугольная мозаика может быть геометрически искривлена в топологически эквивалентные мозаики с меньшей степенью симметрии . В этих вариантах мозаики рёбра не обязательно являются отрезками (могут быть кривыми).

p3m1, (*333)	p3, (333)	p31m, (3*3)

Связанные квазирегулярные мозаики

Тришестиугольная мозаика присутствует в последовательности симметрий квазирегулярных мозаик с конфигурациями вершин (3. n ) ² , которая начинается с мозаик на сфере, идёт к евклидовой плоскости и переходит в гипеболическую плоскость. С (англ.) ( симметрии * n 32 все эти мозаики создаются построением Витхоффа с фундаментальной областью симметрии и генераторной точкой в вершине области с прямым углом .

* n 32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик : (3. n ) ²

Построение	Сферическая			Евклидова	Гиперболическая
	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Квазирегулярные фигуры
Вершина	(3.3) 2	(3.4) 2	(3.5) 2

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 2 правильных комплексных бесконечноугольника , имеющие те же вершины, что и тришестиугольная мозаика. Правильные комплексные бесконечноугольники имеют вершины и рёбра, при этом рёбра могут иметь 2 и более вершин. Правильные бесконечноугольники (апейрогоны) p { q } r имеют ограничивающее равенство: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Рёбра имеют p вершин, расположенных как у правильного многоугольника , а вершинные фигуры r -угольны .

Первый бесконечноугольник состоит из треугольных рёбер, по два треугольника вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные рёбра, по два шестиугольника вокруг каждой вершины.

3{12}2 or	6{6}2 or

См. также

• (англ.) (
• Звезда Давида
• Тришестиугольные призматические соты

Примечания

Литература

• Robert Williams. . — New York: Dover Publications , 1979. — С. . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , Shephard G. C. . — New York: W. H. Freeman, 1987. — ISBN 0-7167-1193-1 .
• Johannes Kepler. / Aiton E. J., Duncan A. M., Field J. V.. — American Philosophical Society, 1997. — Т. 209. — С. 104–105. — (Memoirs of the American Philosophical Society). — ISBN 9780871692092 .
• Coxeter H. S. M.D. . — 2nd. — New York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. — С. -112, 136. — ISBN 0-521-39490-2 .
• Coxeter H. S. M.D. Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction // . — Third edition. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings; Euclidean plane tessellations // The Symmetries of Things. — Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 2008. — С. 288. — ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Mamoru Mekata. Kagome: The story of the basketweave lattice // Physics Today. — AIP Publishing, 2003. — Февраль ( т. 56 , вып. 2 ). — С. 12–13 . — doi : . — Bibcode : .
• Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Topological spin liquid on the hyperkagome lattice of Na ₄ Ir ₃ O ₈ // Physical Review Letters. — 2008. — Июнь ( т. 100 , вып. 22 ). — doi : . — Bibcode : . — arXiv : .
• Yen F., Chaudhury R. P., Galstyan E., Lorenz B., Wang Y. Q., Sun Y. Y., Chu C. W. Magnetic phase diagrams of the Kagome staircase compound Co ₃ V ₂ O ₈ // Physica B: Condensed Matter. — 2008. — Т. 403 . — С. 1487–1489 . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : .
• Dale Seymour, Jill Britton. . — 1989. — С. –56. — ISBN 978-0866514613 .
• Walter Steurer, Sofia Deloudi. . — Springer, 2009. — Т. 126. — С. 20. — (Springer Series in Materials Science). — ISBN 9783642018992 .