Interested Article - Фаска (геометрия)

Куб без фаски, с небольшой фаской и с глубокой фаской

Фаска или усечение рёбер в геометрии — это топологическая операция, которая преобразует многогранник в другой многогранник. Операция подобна растяжению , передвигающему грани, удаляя их от центра. Для трёхмерных многогранников операция фаски добавляет новую шестиугольную грань вместо каждого исходного ребра.

В нотации Конвея операция представляется буквой c . Многогранник с e рёбрами будет иметь после операции фаски 2 e новых вершин, 3 e новых рёбер и e новых шестиугольных граней.

Правильный многогранник с фаской

В разделах ниже описаны детально пять правильных многогранников с фаской. Каждый показан в версии с рёбрами одинаковой длины и в канонической версии, в которой все рёбра касаются одной и той же полувписанной сферы . (Они выглядят заметно по-другому для тел, содержащих треугольные грани.) Показанные двойственные многогранники являются двойственными для канонических версий.

Исходный	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
С фаской

Тетраэдр с фаской

Тетраэдр с фаской
(с равными длинами рёбер)
Нотация Конвея	cT
	GP _III (2,0) = {3+,3} _2,0
Граней	4 треугольника 6 шестиугольников
Рёбер	24 (2 типа)
Вершин	16 (2 типа)
Конфигурация вершины	(12) 3.6.6 (4) 6.6.6
Группы симметрии	Тетраэдральная ( T _d )
Двойственный многогранник	альтернированный триакисоктаэдр
Свойства	выпуклый , грани равносторонние
развёртка

Тетраэдр с фаской (или альтернировнный усечённый куб ) — это выпуклый многогранник , построенный как усечённый куб или как операция фаски на тетраэдре, заменяющая его 6 рёбер шестиугольниками.

Многогранник является G _III (2,0), содержащим треугольные и шестиугольные грани.

Усечённый тетраэдр выглядит подобным образом, но его шестиугольники соответствуют 4 вершинам тетраэдра, а не его 6 рёбрам.

Фаски тетраэдра и связанные тела
тетраэдр с фаской (канонический)	двойственный для тетратетраэдра (октаэдра)	тетраэдр с фаской (канонический)
альтернированный триакисоктаэдр	октаэдр	альтернированный триакисоктаэдр

Куб с фаской

Куб с фаской
(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея	cC = t4daC
	GP _IV (2,0) = {4+,3} _2,0
Вершин	6 квадратов 12 шестиугольников
Рёбер	48 (2 типа)
Вершин	32 (2 типа)
Конфигурация вершины	(24) 4.6.6 (8) 6.6.6
Симметрия	, [4,3], (432) T _h , [4,3 ⁺ ], (32)
Двойственный многогранник
Свойства	выпуклый , зоноэдр , грани равносторонние
развёртка

Куб с фаской — это выпуклый многогранник с 32 вершинами, 48 рёбрами и 18 гранями — 12 шестиугольников и 8 квадратов. Многогранник строится как снятие фаски у куба . Квадраты уменьшаются в размерах и новые шестиугольные грани добавляются вместо всех исходных рёбер. Его двойственным является .

Многогранник не совсем точно называется усечённым ромбододекаэдром , хотя это имя и предполагает ромбокубооктаэдр . Более правильно называть его четыреусечённым ромбододекаэдром , поскольку усекаются только вершины порядка 4.

Шестиугольные грани являются равносторонними , но не являются правильными . Они образуются усечёнными ромбами, имеют 2 внутренних угла около 109.47° (= $\cos ^{-1}(-{\frac {1}{3}})$ ) и 4 внутренних угла 125.26°, в то время как у правильного шестиугольника все углы равны 120°.

Поскольку все грани многогранника имеют чётное число сторон с симметрией вращения 180°, многогранник является зоноэдром . Он является также GP _IV (2,0) или {4+,3} _2,0 , содержащим квадратные и шестиугольные грани.

Куб с фаской — это сумма Минковского ромбододекаэдра и куба с длиной стороны 1, когда восемь вершин ромбододекаэдра лежат в точках $(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ , а шесть вершин являются перестановками $(\pm 2,0,0)$ .

Куб с фаской можно построить с пиритоэдральной симметрией и прямоугольными гранями (справа). Его можно рассматривать как пентагондодекаэдр (слева) с 6 срезанными рёбрами. Такое встречается в кристаллах пирита .

Усечённый октаэдр выглядит похожим образом, но его шестиугольники соответствуют 8 вершинам куба, а не его 12 рёбрам.

Куб с фаской и связанные тела
Куб с фаской (канонический)	ромбододекаэдр	Октаэдр с фаской
	кубооктаэдр	триакискубооктаэдр

Октаэдр с фаской

Октаэдр с фаской
(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея	cO = t3daO
Граней	8 треугольников 12 шестиугольников
Рёбер	48 (2 типа)
Вершин	30 (2 типа)
Конфигурация вершины	(24) 3.6.6 (6) 6.6.6
Симметрия	, [4,3], (*432)
Двойственный многогранник	Триакискубооктаэдр
Свойства	выпуклое

В геометрии октаэдр с фаской — это выпуклый многогранник , построенный из ромбододекаэдра путём усечения 8 вершин (порядка 3).

Многогранник можно назвать усечённым ромбододекаэдром , усечением порядка 3 вершин ромбододекаэдра .

8 вершин усекаются так, что все рёбра получают равную длину. Исходные 12 ромбических граней становятся плоскими шестиугольниками, а усечённые вершины превращаются в треугольники.

Шестиугольные грани имеют равные стороны , но грани правильными не являются.

Додекаэдр с фаской

Додекаэдр с фаской
(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея tation	= t5daD = dk5aD
	G _V (2,0) = {5+,3} _2,0
Фуллерен	C ₈₀
Вершин	12 пятиугольников 30 шестиугольников
Рёбер	120 (2 типа)
Вершин	80 (2 типа)
Конфигурация вершины	(60) 5.6.6 (20) 6.6.6
Группы симметрии	Икосаэдральная ( I _h )
Двойственный многогранник
Свойства	выпуклый , грани равносторонние

Додекаэдр с фаской — это выпуклый многогранник с 80 вершинами, 120 рёбрами и 42 гранями — 30 шестиугольников и 12 пятиугольников. Многогранник строится путём снятия фаски у правильного додекаэдра . Пятиугольники уменьшаются в размерах и добавляются новые шестиугольные грани на месте всех исходных рёбер. Многогранник двойственен .

Многогранник не вполне правильно называется усечённым ромботриаконтаэдром . Правильнее было бы называть пятиусечённым ромботриаконтаэдром , поскольку усекаются только вершины порядка 5.

Усечённый икосаэдр выглядит похожим образом, но его шестиугольники соответствуют 20 вершинам додекаэдра, а не 30 его рёбрам.

Додекаэдр с фаской и связанные тела
додекаэдр с фаской (канонический)	ромботриаконтаэдр	икосододекаэдр с фаской (канонический)
	икосододекаэдр	триакис икосододекаэдр

Икосаэдр с фаской

Икосододекаэдр с фаской
( с равными длинами сторон)
Нотация Конвея	cI = t3daI
Граней	20 треугольников 30 шестиугольников
Рёбер	120 (2 типа)
Вершин	72 (2 типа)
Конфигурация вершины	(24) 3.6.6 (12) 6.6.6
Симметрия	I _h , [5,3], (*532)
Двойственный многогранник	триакис икосододекаэдр
Свойства	выпуклый

В геометрии икосаэдр с фаской — это выпуклый многогранник , построенный из ромботриаконтаэдра путём усечения 20 вершин порядка 3. Шестиугольные грани можно сделать равносторонними , но они не будут правильными .

Многогранник можно также назвать усечённым ромботриаконтаэдром , усечением вершин ромботриаконтаэдра порядка 3.

Правильные мозаики с фаской

Правильные мозаики с фаской
Квадратная мозаика , Q {4,4}	Треугольная мозаика , Δ {3,6}	Шестиугольный паркет , H {6,3}

cQ	cΔ	cH

Связь с многогранниками Голдберга

Операция снятия фаски, применённая кратно, создаёт многогранник с возрастающим числом граней, в которых рёбра предыдущего многогранника заменяются шестиугольниками. Операция снятия фаски преобразует GP(m,n) в GP(2m,2n).

Правильный многогранник GP(1,0) создаёт последовательность GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)...

	GP(1,0)	GP(2,0)	GP(4,0)	GP(8,0)	GP(16,0)...
GP _IV {4+,3}	C		ccC	cccC
GP _V {5+,3}	D		ccD	cccD	ccccD
GP _VI {6+,3}	H	cH	ccH	cccH	ccccH

Усечённый октаэдр или усечённый икосаэдр , GP(1,1) создаёт последовательность Голдберга GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....

	GP(1,1)	GP(2,2)	GP(4,4)...
GP _IV {4+,3}	tO	ctO	cctO
GP _V {5+,3}	tI	ctI	cctI
GP _VI {6+,3}		ctH	cctH

Усечённый Тетракисгексаэдр или пентакисдодекаэдр , GP(3,0), создаёт последовательность Голдберга GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

	GP(3,0)	GP(6,0)	GP(12,0)...
GP _IV {4+,3}	tkC	ctkC	cctkC
GP _V {5+,3}		ctkD	cctkD
GP _VI {6+,3}	tkH	ctkH	cctkH

Многогранники и соты с фасками

Подобно операции расширения, операция фаски может быть применена в любой размерности. Для многогранников в 3-мерном пространстве операция утраивает число вершин. В более высоких размерностях создаются новые ячейки вокруг каждого ребра, при этом ячейки являются призмами, содержащими две копии исходной грани с пирамидами, добавленными к сторонам призмы.

См. также

Примечания

. Дата обращения: 4 марта 2018. Архивировано из 12 августа 2014 года.

Литература

Goldberg. // . — 1937.
Joseph D. Clinton. .
George W. Hart. Goldberg Polyhedra // Shaping Space / Marjorie Senechal. — 2. — Springer, 2012. — С. 125–138. — doi : .
George W. Hart. . — Simons Science News, 2013. — Июнь.
Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin. . — 1998. — С. 72 Fig. 26. Chamfered tetrahedron .
Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin. // Discrete Mathematics . — 1998. — Т. 192 , вып. 1 . — С. 41–80 . — doi : . 6 февраля 2007 года.

Ссылки

Livio Zefiro
( Нотация Конвея для многогранников )
- VRML model
[5,6] fullerene
Fullerene C80
1. (Number 7 -Ih)

[1] . Дата обращения: 4 марта 2018. Архивировано из 12 августа 2014 года.