Interested Article - Фаска (геометрия)

Куб без фаски, с небольшой фаской и с глубокой фаской

Фаска или усечение рёбер в геометрии — это топологическая операция, которая преобразует многогранник в другой многогранник. Операция подобна растяжению , передвигающему грани, удаляя их от центра. Для трёхмерных многогранников операция фаски добавляет новую шестиугольную грань вместо каждого исходного ребра.

В нотации Конвея операция представляется буквой c . Многогранник с e рёбрами будет иметь после операции фаски 2 e новых вершин, 3 e новых рёбер и e новых шестиугольных граней.

Правильный многогранник с фаской

В разделах ниже описаны детально пять правильных многогранников с фаской. Каждый показан в версии с рёбрами одинаковой длины и в канонической версии, в которой все рёбра касаются одной и той же полувписанной сферы . (Они выглядят заметно по-другому для тел, содержащих треугольные грани.) Показанные двойственные многогранники являются двойственными для канонических версий.

Исходный
{3,3}

{4,3}

{3,4}

{5,3}

{3,5}
С фаской

Тетраэдр с фаской

Тетраэдр с фаской

(с равными длинами рёбер)
Нотация Конвея cT
GP III (2,0) = {3+,3} 2,0
Граней 4 треугольника
6 шестиугольников
Рёбер 24 (2 типа)
Вершин 16 (2 типа)
Конфигурация вершины (12) 3.6.6
(4) 6.6.6
Группы симметрии Тетраэдральная ( T d )
Двойственный многогранник альтернированный триакисоктаэдр
Свойства выпуклый , грани равносторонние

развёртка

Тетраэдр с фаской (или альтернировнный усечённый куб ) — это выпуклый многогранник , построенный как усечённый куб или как операция фаски на тетраэдре, заменяющая его 6 рёбер шестиугольниками.

Многогранник является G III (2,0), содержащим треугольные и шестиугольные грани.

Усечённый тетраэдр выглядит подобным образом, но его шестиугольники соответствуют 4 вершинам тетраэдра, а не его 6 рёбрам.
Фаски тетраэдра и связанные тела

тетраэдр с фаской (канонический)

двойственный для тетратетраэдра (октаэдра)

тетраэдр с фаской (канонический)

альтернированный триакисоктаэдр

октаэдр

альтернированный триакисоктаэдр

Куб с фаской

Куб с фаской

(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея cC = t4daC
GP IV (2,0) = {4+,3} 2,0
Вершин 6 квадратов
12 шестиугольников
Рёбер 48 (2 типа)
Вершин 32 (2 типа)
Конфигурация вершины (24) 4.6.6
(8) 6.6.6
Симметрия , [4,3], (*432)
T h , [4,3 + ], (3*2)
Двойственный многогранник
Свойства выпуклый , зоноэдр , грани равносторонние

развёртка

Куб с фаской — это выпуклый многогранник с 32 вершинами, 48 рёбрами и 18 гранями — 12 шестиугольников и 8 квадратов. Многогранник строится как снятие фаски у куба . Квадраты уменьшаются в размерах и новые шестиугольные грани добавляются вместо всех исходных рёбер. Его двойственным является .

Многогранник не совсем точно называется усечённым ромбододекаэдром , хотя это имя и предполагает ромбокубооктаэдр . Более правильно называть его четыреусечённым ромбододекаэдром , поскольку усекаются только вершины порядка 4.

Шестиугольные грани являются равносторонними , но не являются правильными . Они образуются усечёнными ромбами, имеют 2 внутренних угла около 109.47° (= ) и 4 внутренних угла 125.26°, в то время как у правильного шестиугольника все углы равны 120°.

Поскольку все грани многогранника имеют чётное число сторон с симметрией вращения 180°, многогранник является зоноэдром . Он является также GP IV (2,0) или {4+,3} 2,0 , содержащим квадратные и шестиугольные грани.

Куб с фаской — это сумма Минковского ромбододекаэдра и куба с длиной стороны 1, когда восемь вершин ромбододекаэдра лежат в точках , а шесть вершин являются перестановками .

Куб с фаской можно построить с пиритоэдральной симметрией и прямоугольными гранями (справа). Его можно рассматривать как пентагондодекаэдр (слева) с 6 срезанными рёбрами. Такое встречается в кристаллах пирита .
Усечённый октаэдр выглядит похожим образом, но его шестиугольники соответствуют 8 вершинам куба, а не его 12 рёбрам.
Куб с фаской и связанные тела

Куб с фаской (канонический)

ромбододекаэдр

Октаэдр с фаской


кубооктаэдр

триакискубооктаэдр

Октаэдр с фаской

Октаэдр с фаской

(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея cO = t3daO
Граней 8 треугольников
12 шестиугольников
Рёбер 48 (2 типа)
Вершин 30 (2 типа)
Конфигурация вершины (24) 3.6.6
(6) 6.6.6
Симметрия , [4,3], (*432)
Двойственный многогранник Триакискубооктаэдр
Свойства выпуклое

В геометрии октаэдр с фаской — это выпуклый многогранник , построенный из ромбододекаэдра путём усечения 8 вершин (порядка 3).

Многогранник можно назвать усечённым ромбододекаэдром , усечением порядка 3 вершин ромбододекаэдра .

8 вершин усекаются так, что все рёбра получают равную длину. Исходные 12 ромбических граней становятся плоскими шестиугольниками, а усечённые вершины превращаются в треугольники.

Шестиугольные грани имеют равные стороны , но грани правильными не являются.

Додекаэдр с фаской

Додекаэдр с фаской

(с равными длинами сторон)
Нотация Конвея tation = t5daD = dk5aD
G V (2,0) = {5+,3} 2,0
Фуллерен C 80
Вершин 12 пятиугольников
30 шестиугольников
Рёбер 120 (2 типа)
Вершин 80 (2 типа)
Конфигурация вершины (60) 5.6.6
(20) 6.6.6
Группы симметрии Икосаэдральная ( I h )
Двойственный многогранник
Свойства выпуклый , грани равносторонние

Додекаэдр с фаской — это выпуклый многогранник с 80 вершинами, 120 рёбрами и 42 гранями — 30 шестиугольников и 12 пятиугольников. Многогранник строится путём снятия фаски у правильного додекаэдра . Пятиугольники уменьшаются в размерах и добавляются новые шестиугольные грани на месте всех исходных рёбер. Многогранник двойственен .

Многогранник не вполне правильно называется усечённым ромботриаконтаэдром . Правильнее было бы называть пятиусечённым ромботриаконтаэдром , поскольку усекаются только вершины порядка 5.

Усечённый икосаэдр выглядит похожим образом, но его шестиугольники соответствуют 20 вершинам додекаэдра, а не 30 его рёбрам.
Додекаэдр с фаской и связанные тела

додекаэдр с фаской (канонический)

ромботриаконтаэдр

икосододекаэдр с фаской (канонический)


икосододекаэдр

триакис икосододекаэдр

Икосаэдр с фаской

Икосододекаэдр с фаской

( с равными длинами сторон)
Нотация Конвея cI = t3daI
Граней 20 треугольников
30 шестиугольников
Рёбер 120 (2 типа)
Вершин 72 (2 типа)
Конфигурация вершины (24) 3.6.6
(12) 6.6.6
Симметрия I h , [5,3], (*532)
Двойственный многогранник триакис икосододекаэдр
Свойства выпуклый

В геометрии икосаэдр с фаской — это выпуклый многогранник , построенный из ромботриаконтаэдра путём усечения 20 вершин порядка 3. Шестиугольные грани можно сделать равносторонними , но они не будут правильными .

Многогранник можно также назвать усечённым ромботриаконтаэдром , усечением вершин ромботриаконтаэдра порядка 3.


Правильные мозаики с фаской

Правильные мозаики с фаской

Квадратная мозаика , Q
{4,4}

Треугольная мозаика , Δ
{3,6}

Шестиугольный паркет , H
{6,3}
cQ cH


Связь с многогранниками Голдберга

Операция снятия фаски, применённая кратно, создаёт многогранник с возрастающим числом граней, в которых рёбра предыдущего многогранника заменяются шестиугольниками. Операция снятия фаски преобразует GP(m,n) в GP(2m,2n).

Правильный многогранник GP(1,0) создаёт последовательность GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)...

GP(1,0) GP(2,0) GP(4,0) GP(8,0) GP(16,0)...
GP IV
{4+,3}

C


ccC

cccC
GP V
{5+,3}

D


ccD

cccD

ccccD
GP VI
{6+,3}

H

cH

ccH

cccH

ccccH

Усечённый октаэдр или усечённый икосаэдр , GP(1,1) создаёт последовательность Голдберга GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....

GP(1,1) GP(2,2) GP(4,4)...
GP IV
{4+,3}

tO

ctO

cctO
GP V
{5+,3}

tI

ctI

cctI
GP VI
{6+,3}


ctH

cctH

Усечённый Тетракисгексаэдр или пентакисдодекаэдр , GP(3,0), создаёт последовательность Голдберга GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...

GP(3,0) GP(6,0) GP(12,0)...
GP IV
{4+,3}

tkC

ctkC
cctkC
GP V
{5+,3}


ctkD
cctkD
GP VI
{6+,3}

tkH

ctkH
cctkH

Многогранники и соты с фасками

Подобно операции расширения, операция фаски может быть применена в любой размерности. Для многогранников в 3-мерном пространстве операция утраивает число вершин. В более высоких размерностях создаются новые ячейки вокруг каждого ребра, при этом ячейки являются призмами, содержащими две копии исходной грани с пирамидами, добавленными к сторонам призмы.


См. также

Примечания

  1. . Дата обращения: 4 марта 2018. Архивировано из 12 августа 2014 года.

Литература

  • Goldberg. // . — 1937.
  • Joseph D. Clinton. .
  • George W. Hart. Goldberg Polyhedra // Shaping Space / Marjorie Senechal. — 2. — Springer, 2012. — С. 125–138. — doi : .
  • George W. Hart. . — Simons Science News, 2013. — Июнь.
  • Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin. . — 1998. — С. 72 Fig. 26. Chamfered tetrahedron .
  • Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin. // Discrete Mathematics . — 1998. — Т. 192 , вып. 1 . — С. 41–80 . — doi : . 6 февраля 2007 года.


Ссылки

Источник —

Same as Фаска (геометрия)