Interested Article - Фаска (геометрия)
- 2021-02-01
- 1
Фаска или усечение рёбер в геометрии — это топологическая операция, которая преобразует многогранник в другой многогранник. Операция подобна растяжению , передвигающему грани, удаляя их от центра. Для трёхмерных многогранников операция фаски добавляет новую шестиугольную грань вместо каждого исходного ребра.
В нотации Конвея операция представляется буквой c . Многогранник с e рёбрами будет иметь после операции фаски 2 e новых вершин, 3 e новых рёбер и e новых шестиугольных граней.
Правильный многогранник с фаской
В разделах ниже описаны детально пять правильных многогранников с фаской. Каждый показан в версии с рёбрами одинаковой длины и в канонической версии, в которой все рёбра касаются одной и той же полувписанной сферы . (Они выглядят заметно по-другому для тел, содержащих треугольные грани.) Показанные двойственные многогранники являются двойственными для канонических версий.
Исходный |
{3,3} |
{4,3} |
{3,4} |
{5,3} |
{3,5} |
---|---|---|---|---|---|
С фаской |
Тетраэдр с фаской
Тетраэдр с фаской | |
---|---|
(с равными длинами рёбер) |
|
Нотация Конвея | cT |
GP III (2,0) = {3+,3} 2,0 | |
Граней |
4
треугольника
6 шестиугольников |
Рёбер | 24 (2 типа) |
Вершин | 16 (2 типа) |
Конфигурация вершины |
(12) 3.6.6
(4) 6.6.6 |
Группы симметрии | Тетраэдральная ( T d ) |
Двойственный многогранник | альтернированный триакисоктаэдр |
Свойства | выпуклый , грани равносторонние |
развёртка |
Тетраэдр с фаской (или альтернировнный усечённый куб ) — это выпуклый многогранник , построенный как усечённый куб или как операция фаски на тетраэдре, заменяющая его 6 рёбер шестиугольниками.
Многогранник является G III (2,0), содержащим треугольные и шестиугольные грани.
тетраэдр с фаской (канонический) |
двойственный для тетратетраэдра (октаэдра) |
тетраэдр с фаской (канонический) |
альтернированный триакисоктаэдр |
октаэдр |
альтернированный триакисоктаэдр |
Куб с фаской
Куб с фаской | |
---|---|
(с равными длинами сторон) |
|
Нотация Конвея | cC = t4daC |
GP IV (2,0) = {4+,3} 2,0 | |
Вершин |
6
квадратов
12 шестиугольников |
Рёбер | 48 (2 типа) |
Вершин | 32 (2 типа) |
Конфигурация вершины |
(24) 4.6.6
(8) 6.6.6 |
Симметрия |
, [4,3], (*432)
T h , [4,3 + ], (3*2) |
Двойственный многогранник | |
Свойства | выпуклый , зоноэдр , грани равносторонние |
развёртка |
Куб с фаской — это выпуклый многогранник с 32 вершинами, 48 рёбрами и 18 гранями — 12 шестиугольников и 8 квадратов. Многогранник строится как снятие фаски у куба . Квадраты уменьшаются в размерах и новые шестиугольные грани добавляются вместо всех исходных рёбер. Его двойственным является .
Многогранник не совсем точно называется усечённым ромбододекаэдром , хотя это имя и предполагает ромбокубооктаэдр . Более правильно называть его четыреусечённым ромбододекаэдром , поскольку усекаются только вершины порядка 4.
Шестиугольные грани являются равносторонними , но не являются правильными . Они образуются усечёнными ромбами, имеют 2 внутренних угла около 109.47° (= ) и 4 внутренних угла 125.26°, в то время как у правильного шестиугольника все углы равны 120°.
Поскольку все грани многогранника имеют чётное число сторон с симметрией вращения 180°, многогранник является зоноэдром . Он является также GP IV (2,0) или {4+,3} 2,0 , содержащим квадратные и шестиугольные грани.
Куб с фаской — это сумма Минковского ромбододекаэдра и куба с длиной стороны 1, когда восемь вершин ромбододекаэдра лежат в точках , а шесть вершин являются перестановками .
Куб с фаской (канонический) |
ромбододекаэдр |
Октаэдр с фаской |
|
кубооктаэдр |
триакискубооктаэдр |
Октаэдр с фаской
Октаэдр с фаской | |
---|---|
(с равными длинами сторон) |
|
Нотация Конвея | cO = t3daO |
Граней |
8
треугольников
12 шестиугольников |
Рёбер | 48 (2 типа) |
Вершин | 30 (2 типа) |
Конфигурация вершины |
(24) 3.6.6
(6) 6.6.6 |
Симметрия | , [4,3], (*432) |
Двойственный многогранник | Триакискубооктаэдр |
Свойства | выпуклое |
В геометрии октаэдр с фаской — это выпуклый многогранник , построенный из ромбододекаэдра путём усечения 8 вершин (порядка 3).
Многогранник можно назвать усечённым ромбододекаэдром , усечением порядка 3 вершин ромбододекаэдра .
8 вершин усекаются так, что все рёбра получают равную длину. Исходные 12 ромбических граней становятся плоскими шестиугольниками, а усечённые вершины превращаются в треугольники.
Шестиугольные грани имеют равные стороны , но грани правильными не являются.
Додекаэдр с фаской
Додекаэдр с фаской | |
---|---|
(с равными длинами сторон) |
|
Нотация Конвея tation | = t5daD = dk5aD |
G V (2,0) = {5+,3} 2,0 | |
Фуллерен | C 80 |
Вершин |
12
пятиугольников
30 шестиугольников |
Рёбер | 120 (2 типа) |
Вершин | 80 (2 типа) |
Конфигурация вершины |
(60) 5.6.6
(20) 6.6.6 |
Группы симметрии | Икосаэдральная ( I h ) |
Двойственный многогранник | |
Свойства | выпуклый , грани равносторонние |
Додекаэдр с фаской — это выпуклый многогранник с 80 вершинами, 120 рёбрами и 42 гранями — 30 шестиугольников и 12 пятиугольников. Многогранник строится путём снятия фаски у правильного додекаэдра . Пятиугольники уменьшаются в размерах и добавляются новые шестиугольные грани на месте всех исходных рёбер. Многогранник двойственен .
Многогранник не вполне правильно называется усечённым ромботриаконтаэдром . Правильнее было бы называть пятиусечённым ромботриаконтаэдром , поскольку усекаются только вершины порядка 5.
додекаэдр с фаской (канонический) |
ромботриаконтаэдр |
икосододекаэдр с фаской (канонический) |
|
икосододекаэдр |
триакис икосододекаэдр |
Икосаэдр с фаской
Икосододекаэдр с фаской | |
---|---|
( с равными длинами сторон) |
|
Нотация Конвея | cI = t3daI |
Граней |
20
треугольников
30 шестиугольников |
Рёбер | 120 (2 типа) |
Вершин | 72 (2 типа) |
Конфигурация вершины |
(24) 3.6.6
(12) 6.6.6 |
Симметрия | I h , [5,3], (*532) |
Двойственный многогранник | триакис икосододекаэдр |
Свойства | выпуклый |
В геометрии икосаэдр с фаской — это выпуклый многогранник , построенный из ромботриаконтаэдра путём усечения 20 вершин порядка 3. Шестиугольные грани можно сделать равносторонними , но они не будут правильными .
Многогранник можно также назвать усечённым ромботриаконтаэдром , усечением вершин ромботриаконтаэдра порядка 3.
Правильные мозаики с фаской
Квадратная мозаика , Q {4,4} |
Треугольная мозаика , Δ {3,6} |
Шестиугольный паркет , H {6,3} |
||
cQ | cΔ | cH |
Связь с многогранниками Голдберга
Операция снятия фаски, применённая кратно, создаёт многогранник с возрастающим числом граней, в которых рёбра предыдущего многогранника заменяются шестиугольниками. Операция снятия фаски преобразует GP(m,n) в GP(2m,2n).
Правильный многогранник GP(1,0) создаёт последовательность GP(1,0), GP(2,0), GP(4,0), GP(8,0), GP(16,0)...
GP(1,0) | GP(2,0) | GP(4,0) | GP(8,0) | GP(16,0)... | |
---|---|---|---|---|---|
GP
IV
{4+,3} |
C |
|
ccC |
cccC |
|
GP
V
{5+,3} |
D |
|
ccD |
cccD |
ccccD |
GP
VI
{6+,3} |
H |
cH |
ccH |
cccH |
ccccH |
Усечённый октаэдр или усечённый икосаэдр , GP(1,1) создаёт последовательность Голдберга GP(1,1), GP(2,2), GP(4,4), GP(8,8)....
GP(1,1) | GP(2,2) | GP(4,4)... | |
---|---|---|---|
GP
IV
{4+,3} |
tO |
ctO |
cctO |
GP
V
{5+,3} |
tI |
ctI |
cctI |
GP
VI
{6+,3} |
|
ctH |
cctH |
Усечённый Тетракисгексаэдр или пентакисдодекаэдр , GP(3,0), создаёт последовательность Голдберга GP(3,0), GP(6,0), GP(12,0)...
GP(3,0) | GP(6,0) | GP(12,0)... | |
---|---|---|---|
GP
IV
{4+,3} |
tkC |
ctkC |
cctkC |
GP
V
{5+,3} |
|
ctkD |
cctkD |
GP
VI
{6+,3} |
tkH |
ctkH |
cctkH |
Многогранники и соты с фасками
Подобно операции расширения, операция фаски может быть применена в любой размерности. Для многогранников в 3-мерном пространстве операция утраивает число вершин. В более высоких размерностях создаются новые ячейки вокруг каждого ребра, при этом ячейки являются призмами, содержащими две копии исходной грани с пирамидами, добавленными к сторонам призмы.
См. также
Примечания
- . Дата обращения: 4 марта 2018. Архивировано из 12 августа 2014 года.
Литература
- Goldberg. // . — 1937.
- Joseph D. Clinton. .
- George W. Hart. Goldberg Polyhedra // Shaping Space / Marjorie Senechal. — 2. — Springer, 2012. — С. 125–138. — doi : .
- George W. Hart. . — Simons Science News, 2013. — Июнь.
- Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin. . — 1998. — С. 72 Fig. 26. Chamfered tetrahedron .
- Antoine Deza, Michel Deza, Viatcheslav Grishukhin. // Discrete Mathematics . — 1998. — Т. 192 , вып. 1 . — С. 41–80 . — doi : . 6 февраля 2007 года.
Ссылки
- Livio Zefiro
-
(
Нотация Конвея для многогранников
)
- VRML model
- [5,6] fullerene
-
Fullerene C80
- (Number 7 -Ih)
- 2021-02-01
- 1