Сен-Тело
- 1 year ago
- 0
- 0
Архиме́дово те́ло (или архиме́дов многогра́нник ) — выпуклый многогранник , имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников , примыкающих к идентичным вершинам . Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую.
Архимедовы тела отличаются от платоновых тел ( правильных многогранников ), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона , правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.
Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбокубооктаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдоромбокубооктаэдра, Грюнбаум предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гиробикупол), в то время как однородный многогранник определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол ).
Призмы и антипризмы , группами симметрий которых являются диэдрические группы , обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Витхоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной , и икосаэдральной симметрий.
Архимедовы тела названы по имени Архимеда , обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников . Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером , который определил понятия призм , антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо .
Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол ( псевдоромбокубооктаэдр ) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 .
Существует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гиробикупола ; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов , которые ниже перечислены отдельно).
Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат , шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).
Название
(Альтернативное название) |
Шлефли
Коксетер |
Прозрачный | Непрозрачный | Развёртка |
Вершинная
фигура |
Граней | Рёбер | Вершин |
Объём
(при единич- ном ребре) |
Группа
точек |
|
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Усечённый тетраэдр |
{3,3}
|
( Вращение ) |
3.6.6
|
8 |
4 треугольника
4 шестиугольника |
18 | 12 | 2.710576 | T d | ||
Кубооктаэдр
(ромботетраэдр) |
r{4,3} или rr{3,3}
или |
( Вращение ) |
3.4.3.4
|
14 |
8
Треугольников
6 квадратов |
24 | 12 | 2.357023 | O h | ||
Усечённый куб |
t{4,3}
|
( Вращение ) |
3.8.8
|
14 |
8 треугольников
6 восьмиугольников |
36 | 24 | 13.599663 | O h | ||
Усечённый октаэдр
(усечённый тетратераэдр) |
t{3,4} или tr{3,3}
или |
( Вращение ) |
4.6.6
|
14 |
6 квадратов
8 шестиугольников |
36 | 24 | 11.313709 | O h | ||
Ромбокубооктаэдр
(малый ромбокубооктаэдр) |
rr{4,3}
|
( Вращение ) |
3.4.4.4
|
26 |
8 треугольников
18 квадратов |
48 | 24 | 8.714045 | O h | ||
Усечённый кубооктаэдр
(большой ромбокубооктаэдр) |
tr{4,3}
|
( Вращение ) |
4.6.8
|
26 |
12 квадратов
8 шестиугольников 6 восьмиугольников |
72 | 48 | 41.798990 | O h | ||
Курносый куб
, или плосконосый куб
(плосконосый кубоктаэдр) |
sr{4,3}
|
( Вращение ) |
3.3.3.3.4
|
38 |
32 треугольника
6 квадратов |
60 | 24 | 7.889295 | O | ||
Икосододекаэдр |
r{5,3}
|
( Вращение ) |
3.5.3.5
|
32 |
20 треугольников
12 пятиугольников |
60 | 30 | 13.835526 | I h | ||
Усечённый додекаэдр |
t{5,3}
|
( Вращение ) |
3.10.10
|
32 |
20 треугольников
12 десятиугольников |
90 | 60 | 85.039665 | I h | ||
Усечённый икосаэдр |
t{3,5}
|
( Вращение ) |
5.6.6
|
32 |
12 пятиугольников
20 шестиугольников |
90 | 60 | 55.287731 | I h | ||
Ромбоикосододекаэдр
(малый ромбоикосододекаэдр) |
rr{5,3}
|
( Вращение ) |
3.4.5.4
|
62 |
20 треугольников
30 квадратов 12 пятиугольников |
120 | 60 | 41.615324 | I h | ||
Ромбоусечённый икосододекаэдр |
tr{5,3}
|
( Вращение ) |
4.6.10
|
62 |
30 квадратов
20 шестиугольников 12 десятиугольников |
180 | 120 | 206.803399 | I h | ||
Плосконосый додекаэдр
(плосконосый икосододекаэдр) |
sr{5,3}
|
( Вращение ) |
3.3.3.3.5
|
92 |
80 треугольников
12 пятиугольников |
150 | 60 | 37.616650 | I |
Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гиробикупол или «псевдоромбокубооктаэдр» .
Число вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.
Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются и называются квазиправильными .
Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами . Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням телами с правильными вершинами.
Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны , поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений ).
Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.
Симметрия |
Тетраэдральная
|
|
Икосаэдральная
|
|||
---|---|---|---|---|---|---|
Начальное тело
Операция |
Символ
{p, q} |
Тетраэдр
{3,3} |
Куб
{4,3} |
Октаэдр
{3,4} |
Додекаэдр
{5,3} |
Икосаэдр
{3,5} |
Усечение (t) |
t{p, q}
|
Усечённый тетраэдр
|
Усечённый куб
|
Усечённый октаэдр
|
Усечённый додекаэдр
|
Усечённый икосаэдр
|
Полное усечение
(r)
Амвон (a) |
r{p, q}
|
Тетратетраэдр
|
Кубооктаэдр
|
Икосододекаэдр
|
||
(2t)
(dk) |
2t{p, q}
|
Усечённый тетраэдр
|
усечённый октаэдр
|
усечённый куб
|
усечённый икосаэдр
|
усечённый додекаэдр
|
Двойное полное усечение
(2r)
Двойственный (d) |
2r{p, q}
|
тетраэдр
|
октаэдр
|
куб
|
икосаэдр
|
додекаэдр
|
Скашивание
(rr)
Растяжение (e) |
rr{p, q}
|
Кубооктаэдр
|
Ромбокубооктаэдр
|
ромбоикосододекаэдр
|
||
Плосконосое спрямление (sr)
Спрямление (s) |
sr{p, q}
|
плосконосый тетратетраэдр
|
плосконосый куб
|
плосконосый икосододекаэдр
|
||
(tr)
Скашивание (b) |
tr{p, q}
|
Усечённый октаэдр
|
Усечённый кубооктаэдр
|
Ромбоусечённый икосододекаэдр
|
Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.