Interested Article - Усечённый кубооктаэдр

Усечённый кубооктаэдр


Тип	Полуправильный многогранник
Грань	квадрат , шестиугольник , восьмиугольник
Граней	$26$
Рёбер	$72$
Вершин	$48$
Граней при вершине	$3$
Телесный угол	4-6:arccos(-sqrt(6)/3)=144°44’08" 4-8:arccos(-sqrt(2)/3)=135° 6-8:arccos(-sqrt(3)/3)=125°15’51"
Точечная группа симметрии	Октаэдрическая, [4,3] ⁺ , (432), порядок 24
Двойственный многогранник	Гекзакисоктаэдр
Развёртка
С раскраской граней	Вершинная фигура

Усечённый кубооктаэдр , усечённый кубоктаэдр — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 12 квадратными гранями, 8 гранями в виде правильного шестиугольника , 6 гранями в виде правильного восьмиугольника , 48 вершинами и 72 рёбрами. Поскольку каждая из граней многогранника имеет центральную симметрию (что эквивалентно повороту на 180°), усечённый кубооктаэдр является зоноэдром .

Другие названия

Этот многогранник имеет несколько названий:

Усечённый кубооктаэдр ( Иоганн Кеплер )
Ромбоусечённый кубооктаэдр ( Магнус Веннинджер )
Большой ромбокубооктаэдр ( )
Большой ромбокубооктаэдр (Питер Кромвель )
Общеусечённый куб (omnitruncated cube) или скос-усечённый куб (cantitruncated cube) ( )

Название усечённый кубооктаэдр , данное первоначально Иоганном Кеплером , несколько вводит в заблуждение. Усечение кубооктаэдра путём отсечения углов (вершин) не позволяет получить эту однородную фигуру — некоторые грани будут прямоугольниками . Однако полученная фигура топологически эквивалентна усечённому кубооктаэдру и всегда может быть деформирована до состояния, когда грани станут правильными.

Альтернативное название — большой ромбокубооктадр — ссылается на тот факт, что 12 квадратных граней лежат в тех же плоскостях, что и 12 граней ромбододекаэдра , который двойственен кубооктаэдру. Ср. малый ромбокубооктаэдр .

Также существует с тем же именем — .

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин усечённого кубооктаэдра, имеющего ребро длины 2 и имеющего центр в начале координат, являются перестановками чисел:

(±1, ±(1+√2), ±(1+2√2))

Площадь и объём

Площадь A и объём V усечённого кубооктаэдра с ребром длины a равны:

A=12\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 61.7551724a^{2}

V=\left(22+14{\sqrt {2}}\right)a^{3}\approx 41.7989899a^{3}.

Рассечение

Усечённый кубооктаэдр можно препарировать (вырезать части), превратив его в центральный ромбокубооктаэдр с 6 над первичными квадратными гранями, 8 над треугольными гранями и 12 кубами над вторичными квадратными гранями.

Препарированный усечённый кубооктаэдр может дать рода 5, 7 или 11, если удалить центральный ромбокубооктаэдр и либо квадратные купола, либо треугольные купола, или 12 кубов соответственно. Можно построить много других тороидов с меньшей степенью симметрии путём удаления подмножества этих компонент препарации. Например, удаление половины треугольных куполов создаёт тороид рода 3, который (при правильном выборе удаляемых куполов) имеет тетраэдральную симметрию .

Тороиды Стюарта
Род 3	Род 5	Род 7	Род 11

Однородные раскраски

Существует только одна однородная раскраска граней этого многогранника, по одному цвету на каждый тип грани.

Существует 2-однородная раскраска тетраэдральной симметрией с раскраской шестиугольников в два цвета.

Ортогональные проекции

Усечённый кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в A ₂ и B ₂ плоскости Коксетера с [6] и [8] проективными симметриями, и множество [2] симметрий можно построить, исходя из различных плоскостей проекции.

Ортогональные проекции
Центрированы относительно	Вершины	Ребра 4-6	Ребра 4-8	Ребра 6-8	Нормали к грани 4-6
Изображение
Проективная симметрия	[2] ⁺	[2]	[2]	[2]	[2]
Центрированы относительно	Нормали к квадрату	Нормали к восьмиграннику	Квадратной грани	Шестиугольной грани	Восьмиугольной грани
Изображение
Проективная симметрия	[2]	[2]	[2]	[6]	[8]

Сферические мозаики

Усечённый кубооктаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроектировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция конформна , она сохраняет углы, но не сохраняет длины и площади. Прямые линии на сфере проецируются в круговые дуги на плоскости.

Ортогональная проекция	Стереографические проекции
	квадрат -центрированная	шестиугольник -центрированная	восьмиугольник -центрированная

Связанные многогранники

Усечённый кубооктаэдр входит в семейство однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдральные многогранники
Симметрия : [4,3],							[4,3] ⁺ , (432)	[3 ⁺ ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}		sr{4,3}	s{3,4}
Двойственные многогранники

V4 ³	V3.8 ²	V(3.4) ²	V4.6 ²	V3 ⁴	V3.4 ³	V4.6.8	V3 ⁴ .4	V3 ⁵

Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных вершинных фигур со схемой (4.6.2p) и диаграммой Коксетера — Дынкина . Для p < 6 члены последовательности являются многогранниками ( зоноэдрами ), показанными ниже как сферические мозаики. Для p > 6 они являются мозаиками на гиперболической плоскости, начиная с .

* n 32 мутации по симметрии полностью усечённых мозаик: *4.6.2n*
Симметрия	Сферическая				Евклидова	Компактная гиперболическая		Паракомп.	Некомпактная гиперболическая
Симметрия	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
Фигуры
Конфигурация	4.6.4	4.6.6		4.6.10					4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Двойственная
Конфигурация грани		V4.6.6		V4.6.10				V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* n 42 симметрии общеусечённых мозаик: *4.8.2n*
Симметрия * n 42 [n,4]	Сферическая		Евклидова	Компактная гиперболическая				Паракомп.
Симметрия * n 42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]…	*∞42 [∞,4]
Общеусечённая фигура	4.8.4		4.8.8
Общеусечённые двойственные			V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

Граф усечённого кубооктаэдра

В теории графов граф усечённого кубооктаэдра (или граф большого ромбокубооктаэдра ) — это усечённого кубооктаэдра. Он имеет 48 вершин и 72 ребра, и является кубическим архимедовым графом .

Примечания

, с. 39.
, с. 184.
, с. 437, 434.
, с. 20, 39.
, с. 29.
, с. 82.
, с. 82.
.
. Дата обращения: 8 ноября 2015. 4 февраля 2016 года.
, с. 269.

Литература

М. Веннинджер . Модели многогранников. — Мир , 1974.
Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова , А. И. Маркушевича , А. Я. Хинчина . — М. : Государственное издательство физико-математической литературы , 1963. — С. 382—447.
Л. А. Люстерник . Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы , 1956.
Magnus Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press , 1974. — ISBN 978-0-521-09859-5 . (Модель 15, стр. 29)
Robert Williams. . — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X .. (Секция 3-9, стр. 82)
P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids . — ISBN 0-521-55432-2 .
R.C. Read, R.J. Wilson. An Atlas of Graphs. — Oxford University Press, 1998.
B. M. Stewart. Adventures Among the Toroids. — 1970. — ISBN 978-0-686-11936-4 .