В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования .

Обозначения

В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:

${\displaystyle \int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}{{\widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _{i}))}}$ ,

• ${\displaystyle f(x)}$ — интегрируемая функция;
• ${\displaystyle w_{i}}$ — веса интегрирования;
• ${\displaystyle \xi }$ — система координат мастер-элемента;
• ${\displaystyle J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n})}}}$ — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.

В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования ${\displaystyle \Omega }$ будут рассматриваться простые области ( треугольник , четырёхугольник , тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.

В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные ${\displaystyle x,y,z}$ , для обозначения координат мастер-элемента — ${\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta }$ .

Одномерный интеграл

Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.

• Область интегрирования: отрезок ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]}$ ;
• Мастер-элемент: отрезок ${\displaystyle [-1,1]}$ ;
• Переход на мастер-элемент: ${\displaystyle \xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}$ ;
• Переход с мастер-элемента: ${\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}$ ;
• Якобиан: ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}}$ .

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle w}$	Дополнительно
1	1	1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$	Метод прямоугольников
2	2	1	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	Метод трапеций
			${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
3	2	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$	Метод Гаусса -2
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
4	3	3	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	Метод Симпсона
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$
			${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$
5	3	5	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$	Метод Гаусса-3
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {8}{9}}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5}}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$
6	4	7	${\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$	Метод Гаусса-4
			${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$
			${\displaystyle {\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}}$
7	5	9	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {128}{225}}}$	Метод Гаусса-5
			${\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}}$
			${\displaystyle -{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}}$

Двухмерный интеграл

Квадратный мастер-элемент

• Область интегрирования: прямоугольник ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]}$
• Мастер-элемент: квадрат ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]}$
• Переход на мастер-элемент:

${\displaystyle \xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}$

${\displaystyle \eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}$ ;

• Переход с мастер-элемента:

${\displaystyle x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}$

${\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}$ ;

• Якобиан: ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}}$ .

Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёхугольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином .
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle w}$	Дополнительно
1	1	1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 4}$	Метод прямоугольников (метод среднего)
2	4	1	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	Метод трапеций
			${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
3	4	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$	Метод Гаусса-2
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
4	12	7	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{c}}$	${\displaystyle a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}}$ ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}}$ ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {6}{7}}}}$ ${\displaystyle w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}}$ ${\displaystyle w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}}$ ${\displaystyle w_{c}={\frac {98}{405}}}$ Число узлов минимально .
			${\displaystyle c}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{c}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle w_{c}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle w_{c}}$
			${\displaystyle -a}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle w_{a}}$
			${\displaystyle a}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle w_{a}}$
			${\displaystyle -a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle w_{a}}$
			${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle w_{a}}$
			${\displaystyle -b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle w_{b}}$
			${\displaystyle b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle w_{b}}$
			${\displaystyle -b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle w_{b}}$
			${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle w_{b}}$

Треугольный мастер-элемент

• Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ ;
• Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами ${\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)}$ .

Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ .

${\displaystyle \lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}}$

Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица ${\displaystyle D}$ :

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}}$

Матрица коэффициентов обратна к ${\displaystyle D}$ : ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}$ .

• Переход на мастер элемент:

${\displaystyle \xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)}$

${\displaystyle \eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)}$

• Переход с мастер элемента:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix}}}$

• Якобиан : ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)}$ .

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle w}$	Дополнительно
1	1	1	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	Метод среднего
2	3	2	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	-
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
2	3	2	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	Метод Гаусса-3
			${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
4	4	3	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle -{\frac {9}{32}}}$	Метод Гаусса-4
			${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {25}{96}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {25}{96}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {25}{96}}}$
5	7	3	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {9}{40}}}$	Метод Ньютона-Котеса ( англ. Newton-Cotes (англ.) )
			${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$
			${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{40}}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {1}{40}}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{40}}}$

Трёхмерный интеграл

Кубический мастер-элемент

• Область интегрирования: параллелепипед ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]}$
• Мастер-элемент: куб ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]}$
• Переход на мастер-элемент:

${\displaystyle \xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1}$

${\displaystyle \eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1}$

${\displaystyle \zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1}$

• Переход с мастер-элемента:

${\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}}$

${\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}}$ ;

${\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2}}+z_{0}}$ ;

• Якобиан: ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}}$ .

Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника ^{[ уточнить ]} , но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle \zeta }$	${\displaystyle w}$	Дополнительно
1	1	1	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 8}$	Метод прямоугольников (метод среднего)
2	8	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$	Метод Гаусса-2
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle 1}$
3	14	5	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$	Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30}}}}$	${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$
			${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30}}}}$	${\displaystyle {\frac {320}{361}}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33}}}}$	${\displaystyle {\frac {121}{361}}}$

Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.

• Порядок: 7, число точек: 34

Номер точки	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle \zeta }$	${\displaystyle w}$	Дополнительно
1	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{1}}$	${\displaystyle a={\sqrt {\frac {6}{7}}}}$ , ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}}$ , ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}}$ , ${\displaystyle w_{1}={\frac {1078}{3645}}}$ , ${\displaystyle w_{2}={\frac {343}{3645}}}$ , ${\displaystyle w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}}$ , ${\displaystyle w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}}$
2	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{1}}$
3	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{1}}$
4	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{1}}$
5	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle w_{1}}$
6	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle w_{1}}$
7	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{2}}$
8	${\displaystyle a}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{2}}$
9	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{2}}$
10	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle w_{2}}$
11	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle w_{2}}$
12	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle w_{2}}$
13	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle w_{2}}$
14	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle w_{2}}$
15	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle w_{2}}$
16	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle w_{2}}$
17	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle w_{2}}$
18	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle w_{2}}$
19	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle w_{3}}$
20	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle w_{3}}$
21	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle w_{3}}$
22	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle w_{3}}$
23	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle w_{3}}$
24	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle w_{3}}$
25	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle w_{3}}$
26	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle w_{3}}$
27	${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle w_{4}}$
28	${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle w_{4}}$
29	${\displaystyle c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle w_{4}}$
30	${\displaystyle c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle w_{4}}$
31	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle w_{4}}$
32	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle w_{4}}$
33	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle w_{4}}$
34	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle w_{4}}$

Тетраэдральный мастер-элемент

• Область интегрирования: тетраэдр , образованный вершинами ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})}$ .
• Мастер-элемент: тетраэдр , образованный вершинами ${\displaystyle (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ .

Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}}$ :

${\displaystyle \lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4}}$

Матрица коэффициентов определяется, как: ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1}}$ , где

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}}$

• Переход на мастер-элемент:

${\displaystyle \xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)}$

${\displaystyle \eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)}$

${\displaystyle \zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)}$

• Переход с мастер-элемента:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi -\eta -\zeta \end{pmatrix}}}$

• Якобиан : ${\displaystyle \mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)}$ .

Номер	Число точек	Порядок интегрирования	${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle \eta }$	${\displaystyle \zeta }$	${\displaystyle w}$	Дополнительно
1	1	1	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	Метод среднего
2	4	2	${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$	Метод Гаусса-4
			${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$
			${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$
			${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}}$
3	5	3	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle -{\frac {2}{15}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$
			${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{40}}}$
4	11	4	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle -{\frac {74}{5625}}}$	Метод Гаусса-11
			${\displaystyle {\frac {11}{14}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$
			${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {11}{14}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$
			${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {11}{14}}}$	${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$
			${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{70}}}$	${\displaystyle {\frac {343}{45000}}}$
			${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$
			${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$
			${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$
			${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$
			${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$
			${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {56}{2250}}}$
5	14	5	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle A}$	${\displaystyle A,\ B,\ C,\ a,\ b,\ c}$ определяются из следующих уравнений: ${\displaystyle {\begin{cases}t={\frac {4}{27}}\left(71-4{\sqrt {79}}\sin \left({\frac {1}{3}}\left[{\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {27{\sqrt {10815}}}{67}}\right)\right]\right)\right)\\a={\frac {1+\alpha }{4}},\ b={\frac {1+\beta }{4}},\ c={\frac {1+2\gamma }{4}}\\\gamma ={\sqrt {1/t}},\ C=t^{2}/7!,\ \alpha >0\\A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}=(1-t/21)/5!\\A\alpha ^{3}+B\beta ^{3}=-2/6!\\A\alpha ^{4}+B\beta ^{4}=10/7!\\A\alpha ^{5}+B\beta ^{5}=-6/7!\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle A\approx 0.01878132095300264180}$ ${\displaystyle B\approx 0.01224884051939365826}$ ${\displaystyle C\approx 0.00709100346284691107}$ ${\displaystyle a\approx 0.31088591926330060980}$ ${\displaystyle b\approx 0.09273525031089122640}$ ${\displaystyle c\approx 0.45449629587435035051}$
			${\displaystyle 1-3a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle A}$
			${\displaystyle a}$	${\displaystyle 1-3a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle A}$
			${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle 1-3a}$	${\displaystyle A}$
			${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle B}$
			${\displaystyle 1-3b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle B}$
			${\displaystyle b}$	${\displaystyle 1-3b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle B}$
			${\displaystyle b}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle 1-3b}$	${\displaystyle B}$
			${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle C}$
			${\displaystyle c}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle C}$
			${\displaystyle c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle C}$
			${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle C}$
			${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle C}$
			${\displaystyle c}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}-c}$	${\displaystyle C}$

Примечания

Литература

• Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.

Ссылки

• (англ.) . — Интегрирование по треугольному элементу. Дата обращения: 12 июня 2014. Архивировано из 14 июля 2014 года.
• (англ.) . — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Дата обращения: 12 июня 2014. Архивировано из 14 июля 2014 года.