Брахистохро́на (от греч. βράχιστος «кратчайший» + χρόνος «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне 1696 года Иоганном Бернулли следующим образом:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , лежащих в одной вертикальной плоскости ( ${\displaystyle B}$ ниже ${\displaystyle A}$ ), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести , сонаправленной отрицательной полуоси ${\displaystyle OY}$ , материальная точка из ${\displaystyle A}$ достигнет ${\displaystyle B}$ за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке ${\displaystyle A}$ , или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке ${\displaystyle A}$ .

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

Решение задачи о брахистохроне

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон , Якоб Бернулли , Г. В. Лейбниц , Г. Ф. Лопиталь , Э. В. Чирнхаус . Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном , лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления .

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных ординатах . Далее пусть произвольная материальная точка M скатывается от точки A к точке B под действием только силы тяжести ( силы трения отсутствуют). Найдём такую траекторию , при которой время скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки M:

${\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,}$

где

${\displaystyle m}$ — масса тела ,

${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения ,

${\displaystyle y}$ — ордината ,

${\displaystyle v}$ — скорость движения тела.

Получаем:

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}},}$

откуда можно найти значение проекции скорости на ось ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}={\frac {\sqrt {2gy}}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}.}$

Поскольку время на спуск равняется ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx}$ , то задача сводится к минимизации значения интеграла

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}}\,dx.}$

Литература

• Клейбер И. А. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.

Ссылки

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 22 ноября 2010 )