Interested Article - Мультипликатор Шура

Мультипликатор Шура является второй $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$ группы G . Его ввёл Исай Шур в работе по проективным представлениям .

Примеры и свойства

Мультипликатор Шура $\operatorname {M} (G)$ конечной группы G является конечной абелевой группой , экспонента которой делит порядок группы G . Если силовская p -подгруппа группы G является циклической для некоторого p , то порядок $\operatorname {M} (G)$ не делится на p . В частности, если все силовские p -подгруппы группы G циклические, то $\operatorname {M} (G)$ тривиален.

Например, мультипликатор Шура является тривиальной группой , поскольку любая подгруппа Силова циклична. Мультипликатор Шура элементарной абелевлй группы 16-го порядка является элементарной абелевой группой 64-го порядка, это показывает, что мультипликатор может быть строго больше самой группы. Мультипликатор Шура группы кватернионов тривиален, а мультипликатор Шура диэдральных 2-групп имеют порядок 2.

Мультипликаторы Шура конечных простых групп заданы на . получили в последнее время значительное внимание.

Связь с проективными представлениями

Проективное представление группы G может быть преобразовано обратно в линейное представление центрального расширения C группы G.

Исходным поводом изучения мультипликаторов для Шура была классификация проективных представлений групп, а современной формулировкой его определения является вторая $H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })$ . Проективное представление очень похоже на представление группы , за исключением того, что вместо гомоморфизма в полную линейную группу $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ берётся гомоморфизм в проективную полную линейную группу $\operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )$ . Другими словами, проективное представление является представлением по модулю центра .

Шур показал, что любая конечная группа G имеет ассоциированную с ней по меньшей мере одну конечную группу C , называемую накрытием Шура , со свойством, что любое проективное представление группы G может быть поднято до обычного представления группы C . Накрытие Шура известно также как накрывающая группа . Накрытия Шура известны и каждое является примером . Накрытие Шура совершенной группы однозначно определяется с точностью до изоморфизма, но накрытие Шура общей конечной группы определено только с точностью до .

Связь с центральными расширениями

Изучение таких накрывающих групп приводит естественным образом к изучению центральных и стеблевых расширений .

Центральное расширение группы G является расширением

1\to K\to C\to G\to 1

где $K\leqslant Z(C)$ является подгруппой центра группы C .

Стеблевое расширение группы G — это расширение

1\to K\to C\to G\to 1

где $K\leqslant Z(C)\cap C'$ является подгруппой пересечений центра C и производной подгруппы группы C . Это более ограничивающее условие, чем центр .

Если группа G конечна и рассматриваются только стеблевые расширения, то существует наибольший размер такой группы C , и для любой группы C этого размера подгруппа K изоморфна мультипликатору Шура группы G . Если конечная группа G является, более того, совершенной , то C единственна с точностью до изоморфизма и сама совершенна. Такая группа C часто называется универсальными совершенными центральными расширениями группы G , или накрывающей группой (так как это дискретный аналог универсальное накрывающее пространство в топологии). Если конечная группа G не является совершенной, то группы её накрытий Шура (все такие C максимального порядка) лишь .

Группа также называется более кратко универсальным центральным расширением , но заметим, что не существует наибольшего центрального расширения, так как прямое произведение группы G и абелевой группы образует центральное расширение группы G произвольного размера.

Стеблевые расширения имеют интересное свойство, что любое поднятие генерирующего множества группы G являются генерирующим множеством C . Если группа G задана в терминах свободной группы F на множестве генераторов и нормальная подгруппа R генерируется множеством связей на генераторах, так что $G\cong F/R$ , тогда накрывающая группа сама может быть представлена в терминах F , но с меньшей нормальной подгруппой S , то есть, $C\cong F/S$ . Поскольку отношения G определяют элементы K , если рассматривать как часть C , должно выполняться $S\leqslant [F,R]$ .

Фактически, если группа G совершенна, это всё, что нужно: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] и M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Ввиду этой простоты изложения, такие как в статье Ашбахера , рассматривают совершенный случай в первую очередь. Общий случай для мультипликатора Шура аналогичен, но при рассмотрении обеспечивается, чтобы расширение является стеблевым расширением, путём ограничения на порождённую подгруппу F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Это всё чуть более поздние результаты Шура, который также дал несколько полезных критериев для вычисления мультипликаторов более явно.

Связь с эффективными представлениями

В комбинаторной теории групп группы часто описываются заданием группы . Важная тема в этой области математики — изучение заданий с как можно меньшими связями, таких как группы Баумслага — Солитера с одним определяющим соотношением. Эти группы являются бесконечными группами с двумя генераторами и одним соотношением и старый результат Шрейера показывает, что в любом задании с бо́льшим числом генераторов, чем отношений, получается бесконечная группа. Интересен тогда граничный случай — когда конечные группы имеют одинаковое число генераторов и соотношений, и в этом случае говорят, что группа имеет нулевой дефект . Чтобы группа имела нулевой дефект, группа должна иметь тривиальный мультипликатор Шура, поскольку минимальное число генераторов мультипликатора Шура всегда меньше или равно разнице между числом отношений и числом генераторов, что даёт отрицательный дефект. Эффективная группа — это группа, в которой мультипликатор Шура требует такого числа генераторов .

Совсем свежие темы исследований — найти эффективные представления для всех конечных простых групп с тривиальными мультипликаторами Шура. Такие представления в некотором смысле приятны, поскольку они обычно коротки, но их трудно найти и с ними трудно работать, поскольку они плохо приспособлены для стандартных методов, таких как перечисление смежных классов .

Связь с топологией

В топологии группы могут часто быть описаны как конечные задания групп и фундаментальным вопросом является вычисление их полной интегральной гомологии $H_{n}(G,\mathbb {Z} )$ . В частности, вторая гомология играет специальную роль и это привело Хайнца Хопфа к нахождению эффективного метода её вычисления. Метод, описанный в статье Хопфа , известен также как формула интегральной гомологии Хопфа и эта формула идентична формуле Шура для мультипликатора Шура конечной группы:

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]

где $G\cong F/R$ и F является свободной группой . Та же формула верна также, когда G является совершенной группой .

Осознание, что эти формулы на самом деле одно и то же, привели Самуэля Эйленберга и Саундерса Маклейна к созданию . В общем смысле,

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}

где звёздочка означает алгебраически двойственную группу. Более того, когда группа G конечна, имеется неестественный изоморфизм

{\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }).

Формула Хопфа для $H_{2}(G)$ была обобщена на более высокие размерности. Об одном из подходов и для списка литературы см. статью Иверета, Грана и Ван дер Линдена .

Совершенная группа — это группа, первая интегральная гомология которой нулевая. — это группа, первые две интегральные гомологии групп нулевые. Накрытия Шура конечных совершенных групп суперсовершенны. является группой, в которой все приведённые интегральные гомологии нулевые.

Приложения

K ₂ ( R ) коммутативного кольца R может быть отождествлена со второй гомологической группой H ₂ ( E ( R ), Z ) группы E ( R ) (бесконечных) элементарных матриц с элементами из R .

См. также

Статья Миллера даёт другой взгляд на мультипликатора Шура как ядро морфизма κ: G ∧ G → G, порождённого отображением коммутатора.

Примечания

↑ .
.
, с. 553.
, с. §33.
, с. 275–289.
.
, с. Theorems 4.1.3, 4.1.19.
, с. 2231–67.
, с. Corollary 4.2.10.
.

Литература

Michael Aschbacher. Finite group theory // 2nd. — Cambridge University Press , 2000. — Т. 10 . — ISBN 978-0-521-78145-9 .
Heinz Hopf . Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe // Commentarii Mathematici Helvetici. — 1942. — Т. 14 . — С. 257–309 . — ISSN . — doi : .
David Lawrence Johnson, Edmund Frederick Robertson. Finite groups of deficiency zero // Homological Group Theory / C.T.C. Wall. — Cambridge University Press , 1979. — Т. 36. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 978-0-521-22729-2 .
Leonid Viktorovich Kuzmin. Schur multiplicator // / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,, 1994. — ISBN 978-1-55608-010-4 .
Jonathan Rosenberg. . — Springer-Verlag , 1994. — Т. 147. — ( ). — ISBN 978-0-387-94248-3 .
Joseph J. Rotman. An introduction to the theory of groups. — Springer-Verlag , 1994. — ISBN 978-0-387-94285-8 .
Issai Schur . (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . — 1904. — Т. 127 . — С. 20–50 . — ISSN .
Issai Schur . (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . — 1907. — Т. 132 , вып. 132 . — С. 85–137 . — ISSN . — doi : .
Wilberd Van der Kallen. // Bulletin of the American Mathematical Society . — 1984. — Т. 10 . — С. 330–3 . — doi : .
James Wiegold. The Schur multiplier: an elementary approach // Groups–St. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981). — Cambridge University Press , 1982. — Т. 71. — С. 137–154. — (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
Clair Miller. The second homology of a group // Proc. Amer. Math. Soc.. — 1952. — Т. 3 , вып. 4 . — С. 588–595 . — doi : .
Dennis R.K. In search of new "Homology" functors having a close relationship to K-theory. — Cornell University, 1976.
Brown R., Johnson D.L., Robertson E.F. Some computations of non-abelian tensor products of groups // J. Algebra. — 1987. — Т. 111 . — С. 177–202 . — doi : .
Ellis G.J., Leonard F. Computing Schur multipliers and tensor products of finite groups // Proceedings of the Royal Irish Academy. — 1995. — Т. 95A , вып. 2 . — С. 137–147 . — ISSN . — JSTOR .
Ellis G.J. The Schur multiplier of a pair of groups // Appl. Categ. Struct.. — 1998. — Т. 6 , вып. 3 . — С. 355–371 . — doi : .
Bettina Eick, Werner Nickel. Computing the Schur multiplicator and the nonabelian tensor square of a polycyclic group // J. Algebra. — 2008. — Т. 320 , вып. 2 . — С. 927–944 . — doi : .
Tomas Everaert, Marino Gran, Tim Van der Linden. Higher Hopf formulae for homology via Galois theory // Adv. Math.. — 2008. — Т. 217 , № 5 . — С. 2231–67 . — doi : .