Зоногон — центрально-симметричный выпуклый многоугольник .

Эквивалентные определения

• Зоногон — выпуклый многоугольник с чётным количеством сторон, которые можно разбить на пары равных и параллельных . На самом деле, достаточно требовать истинность обеих условий для всех пар сторон, кроме одной — для неё условие уже будет следствием, что нетрудно доказать по индукции по количеству сторон многоугольника. Однако пара сторон, параллельность и равенство которых не постулируется, обязательно должна быть одной и той же для обеих условий, иначе многоугольник уже не обязательно будет зоногоном: пример многоугольника, не являющегося зоногоном, в котором противоположные стороны лишь одной пары не параллельны и противоположные стороны лишь одной пары не равны, изображён на рисунке справа.
• Зоногон — выпуклый многоугольник с чётным количеством сторон, у которого все противоположные стороны и углы равны.
• Зоногон — сумма Минковского конечного числа отрезков на плоскости. Количество сторон полученного зоногона равно удвоенному количеству отрезков.
• Зоногон — граница проекции на плоскость гиперкуба некоторой размерности. Данное определение можно получить из предыдущего, пользуясь тем фактом, что гиперкуб является суммой Минковского своих рёбер, выходящих из одной вершины, и тем, что проекция суммы Минковского отрезков (как и любых других множеств) является суммой Минковского их проекций. При размерности гиперкуба ${\displaystyle n}$ полученный зоногон имеет ровно ${\displaystyle 2n}$ сторон в общем случае и не более ${\displaystyle 2n}$ сторон в любом случае. Важно, что гиперкуб размерности ${\displaystyle n}$ не обязательно должен проектироваться из ${\displaystyle n}$ -мерного пространства на плоскость, содержащуюся в этом пространстве: например, проектируя куб с ребром ${\displaystyle 2}$ из трёхмерного пространства на содержащуюся в нём плоскость, нельзя получить фигуру с диаметром меньше ${\displaystyle 2}$ , так как таков диаметр вписанной сферы куба, чья проекция является кругом диаметра ${\displaystyle 2}$ и содержится внутри проекции самого куба при любом его положении, а вот ортогональная проекция куба такого же размера с вершинами ${\displaystyle (0,0,\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$ из пятимерного пространства на плоскость, образованную всеми точками вида ${\displaystyle (x,y,0,0,0)}$ , состоит и вовсе из одной точки — ${\displaystyle (0,0,0,0,0)}$ . Данное уточнение влияет не только на размер получаемых зоногонов - некоторые зоногоны с точностью до подобия могут быть получены только проектированием гиперкуба на плоскость из пространства большей размерности, чем размерность самого гиперкуба.

Частные случаи

• Параллелограмм - четырёхугольник , являющийся зоногоном. В частности, зоногонами являются ромб , прямоугольник и квадрат .
• Правильный многоугольник с чётным количеством сторон является зоногоном.

Свойства

• Обобщение теоремы Монски : никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников . Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы .

• Максимальное количество пар вершин, которые могут находиться на одинаковых расстояниях, в зоногоне с ${\displaystyle n}$ сторонами равно ${\displaystyle 2n-3}$ . Существуют зоногоны с количеством таких пар, равным ${\displaystyle 2n-O({\sqrt {n}})}$ (см. «O» большое и «o» малое ) .

• Любой строго выпуклый зоногон с ${\displaystyle 2n}$ сторонами может быть разбит на ${\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}$ параллелограммов, причём среди них всегда на каждую пару возможных направлений сторон зоногона будет приходиться ровно один параллелограмм с такими же направлениями сторон . Количества таких возможных разбиений для зоногонов с любыми количествами сторон даёт последовательность в OEIS .

• Для любого разбиения произвольного зоногона на параллелограммы (в любом возможном их количестве) найдётся по крайней мере три вершины зоногона, каждая из которых принадлежит всего лишь одному из параллелограммов .

Способы уменьшения количества сторон

Указанные способы могут быть применены в индукции по количеству сторон зоногона по доказательству приведённых выше эквивалентных определений и свойств.

• Отсечение вершин — при помощи него, например, легко доказывается эквивалентность главного определения второму определению из раздела с эквивалентными определениями.
• Отсечение полос параллелограммов — помимо прочего, оно может быть использовано для доказательства свойств выше, связанных с разбиением зоногонов на параллелограммы полностью.

Замощения плоскости зоногонами

Все зоногоны с количеством вершин, большим четырёх, в замощениях ниже могут быть разбиты на зоногоны с меньшим количеством вершин при помощи рассечения слоёв параллелограммов, показанного на одном из рисунков выше. Также эти параллелограммы могут быть удалены из замощения, что будет равносильно «схлопыванию» зоногонов в некотором направлении.

Замощения одним типом зоногонов

Четырёхугольники и шестиугольники , являющиеся зоногонами, являются также параллелогонами и допускают замощения плоскости собственными копиями, полученными только при помощи параллельного переноса .

Замощения плоскости одним типом зоногонов
Замощение четырёхугольными зоногонами	Замощение шестиугольными зоногонами

Замощения двумя типами зоногонов

Данные замощения являются своего рода усечениями замощения плоскости параллелограммами (четырёхугольными зоногонами) по рёбрам и по вершинам соответственно.

Замощения плоскости двумя типами зоногонов
Замощение четырёхугольными и шестиугольными зоногонами	Замощение четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами

Некоторые другие замощения

Замощения плоскости несколькими типами зоногонов, включая восьми- угольные, полученные из замощений плоскости одним типом зоногонов
Замощение четырёхугольными и восьмиугольными зоногонами	Замощение четырёхугольными, шести- угольными и восьмиугольными зоногонами
Каркасы
Замощения
В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт два подобных замощения.	В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения.

Замощения плоскости четырёхугольными, шестиугольными и восьми- угольными зоногонами, полученные из замощений предыдущей таблицы
Замощение, полученное из замощения четырёх- угольными и восьмиугольными зоногонами	Замощение, полученное из замощения четырёхугольными, шестиугольными и восьмиугольными зоногонами
Каркасы
Замощения
В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения (двумя способами можно соединять сами восьмиугольники, а ещё двумя для каждого расположения восьмиугольников сгруппировать оставшиеся части плоскости в четырёхугольники и шестиугольники).	В общем случае восьмиугольный зоногон задаёт четыре подобных замощения, как и в случае слева. В данной мозаике, в отличие от той, что слева, четырёхугольники, участвующие в заполнении дыр в «кольцах» из восьми восьмиугольников, совпадают с четырёхугольниками, заполняющими дыры в «кольцах» из четырёх восьми- угольников — этот факт иллюстрирует возможность двоякого заполнения «колец» из восьми восьмиугольников (во втором варианте их четырёхугольники совпадали бы с четырёхугольниками из «колец» из шести восьмиугольников).

Некоторые способы «раздвигания» замощений

Замощения могут быть «раздвинуты» вдоль периодических разрезов между многоугольниками, а полученные щели могут быть заполнены полосами, приведёнными ниже. В первой таблице предыдущего раздела правое замощение было получено из левого при помощи

Способы с равномерным чередованием сторон
Период 1
Период 2
Период 3
Период 4		При помощи данной полосы левое замощение из первой таблицы предыдущего раздела может быть превращено в правое замощение той же таблицы.

Способы со сторонами, встречающимися с разной частотой
Период 4		На границе данной полосы один тип сторон встречается в два раза чаще, чем любой из других двух.

Обобщения

• Зоноэдр (зонотоп) — многогранник , являющийся обобщением зоногона для трёхмерного пространства и пространств большей размерности . Иногда под зоноэдром подразумевают только трёхмерный многогранник, а под зонотопом - многогранник произвольной размерности.
• Можно рассматривать центрально-симметричный многоугольник, не являющийся выпуклым и даже несамопересекающимся. При этом для него будут верны только два первых определения из раздела «Эквивалентные определения» с соответственно убранными требованиями выпуклости. В некотором смысле такие многоугольники с небольшим количеством сторон всё ещё будут допускать замощения плоскости.

Примечания