Interested Article - Икосианы

Икосианы — это некоммутативная алгебраическая система , обнаруженная ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году . В современной терминологии он нашёл задание с помощью генераторов и связей.

Открытие Гамильтона возникло из его попыток найти алгебру «троек» (3-кортежей) , которые, как он верил, будут отражать оси координат . Икосианы можно отождествить с перемещениями по вершинам додекаэдра . Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к гамильтоновым циклам и гамильтоновым путям в теории графов . Он также изобрёл игру «Икосиан» для иллюстрации и популяризации своего открытия.

Неформальное определение

Стереографическая проекция додекаэдра, использованная для игры «Икосиан» Гамильтоном

Алгебра основывается на трёх символах, которые являются корнями из единицы , так что последовательное применение любого из них через некоторое число шагов приводит к единице. Это:

Гамильтон также дал другую связь между символами:

(В современных терминах, это (2,3,5) группа треугольника .)

Операция ассоциативна , но не коммутативна . Она образует группу 60-го порядка, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра , а потому знакопеременной группе пятой степени.

Хотя алгебра существует как вполне абстрактное построение, её можно наглядно представить в терминах операций с вершинами додекаэдра. Гамильтон сам использовал плоское представление додекаэдра в качестве основы для игры.

Представим себе жука, ползущего вдоль определённого ребра додекаэдра (с помеченными вершинами) в определённом направлении, скажем, от к . Мы можем представить это как ориентированную дугу .

Геометрическое представление операции для икосианов


  • Икосиан приравнивается к изменению направления любого ребра, так что жук будет ползти от к (следуя направленной дуге ).
  • Икосиан приравнивается к вращению текущего направления жука против часовой стрелки вокруг конечной вершины. В нашем примере это означает изменение текущего направления на .
  • Икосиан приравнивается к правому повороту в конечной точке, то есть переходе от к .

Наследие

Икосианы являются одним из наиболее ранних примеров многих математических идей, включая:

Примечания

  1. Sir William Rowan Hamilton. // Philosophical Magazine . — 1856. — Т. 12 . — С. 446 . 4 марта 2016 года.
  2. Thomas L. Hankins. . — Baltimore, 1980. — С. . — ISBN 0-8018-6973-0 .
  3. Norman L. Biggs, E. Keith Lloyd, Robin J. Wilson. . — Oxford: Clarendon Press, 1976. — С. . — ISBN 0-19-853901-0 .
  4. Gareth Jones. // . — 1995. — Т. B35d . — С. 4 . 8 апреля 2017 года.
  5. W. R. Hamilton. Mathematical papers, Vol. III, Algebra / H. Halberstam, R. E. Ingram. — Cambridge: Cambridge University Press, 1967. — С. 612—625.


Источник —

Same as Икосианы