В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G , которые коммутируют с каждым элементом S , а нормализатор S — это множество элементов G , которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G .

Определение применимо также к полугруппам .

В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R . В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в алгебре Ли .

в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор.

Определения

Группы и полугруппы

Централизатор подмножества S группы (или полугруппы) G определяется как

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid sg=gs}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$

Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа G полностью определяется нотацией. Если S ={ a } — множество, состоящее из единственного элемента, C _G ({ a }) можно сократить до C _G ( a ). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z( a ), которое проводит параллель с обозначением центра группы . Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы G , Z( G ), и централизатор элемента g в G , который обозначается как Z( g ).

Нормализатор S в группе (или полугруппе) G по определению равен

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}}$

Определения похожи, но не идентичны. Если g — централизатор S и s принадлежит S , то должно выполняться ${\displaystyle gs=sg}$ , однако, если g — нормализатор, ${\displaystyle gs=tg}$ для некоторого t из S , возможно, отличного от s . То же соглашение об опускании G и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием .

Кольца, алгебры, кольца и алгебры Ли

Если R — кольцо или алгебра, а S — подмножество кольца, то централизатор S в точности совпадает c определением для групп, только вместо G стоит R .

Если ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ — алгебра Ли (или ) с произведением Ли [ x , y ], то централизатор подмножества S ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ определяется как

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$

Определение централизаторов для колец Ли связано с определением для колец следующим образом. Если R — ассоциативное кольцо, то для R можно задать [ x , y ] = xy − yx . Естественно, xy = yx тогда и только тогда, когда [ x , y ] = 0. Если мы обозначим множество R со скобочным произведением как L _R , то ясно, что централизатор кольца S в R совпадает с централизатором кольца Ли S в L _R .

Нормализатор подмножества S алгебры Ли (или кольца Ли) ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ задаётся равенством

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S}$ для всех ${\displaystyle s\in S\}}$

В то время как это определение является стандартным для термина «нормализатор» в алгебре Ли, следует заметить, что эта конструкция является фактически множества S в ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ . Если S − аддитивная подгруппа ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ , то ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$ является наибольшим подкольцом Ли (или подалгеброй Ли), в которой S является идеалом Ли.

Свойства

Полугруппы

Пусть S ′ — централизатор, то есть ${\displaystyle S'=\{x\in A:sx=xs\ }$ для всех ${\displaystyle s\in S\}.}$ Тогда:

• S ′ образует подполугруппу .
• ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$ — коммутант является своим .

Группы

• Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G .
• Ясно, что C _G (S)⊆ N _G (S). На самом деле, C _G ( S ) всегда является нормальной подгруппой N _G ( S ).
• C _G ( C _G (S)) содержит S , но C _G (S) не обязательно содержит S . C _G (S) будет совпадать с S если st = ts для любого s и t из S . Естественно, что если H — абелева подгруппа G , C _G (H) содержит H .
• Если S является подполугруппой G , то N _G (S) содержит S .
• Если H является подгруппой G , то наибольшая подгруппа, в которой H нормальна, является подгруппой N _G (H).
• Центр G — это в точности C _G (G) и G является абелевой группой в том и только в том случае, когда C _G (G)=Z( G ) = G .
• Для множеств, состоящих из одного элемента, C _G ( a )= N _G ( a ).
• Из принципа симметрии, если S и T являются двумя подмножествами G , T ⊆ C _G ( S ) в том и только в том случае, когда S ⊆ C _G ( T ).
• Для подгруппы H группы G факторгруппа N _G ( H )/ C _G ( H ) изоморфна подгруппе Aut( H ), группе автоморфизмов группы H . Поскольку N _G ( G ) = G и C _G ( G ) = Z( G ), отсюда также следует, что G /Z( G ) изоморфно Inn( G ), подгруппе Aut( G ), состоящей из всех внутренних автоморфизмов G .
• Если мы определим гомоморфизм группы T : G → Inn( G ), положив T ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , то мы можем описать N _G ( S ) и C _G ( S ) в терминах действия группы Inn( G ) на G : стабилизатор S в Inn( G ) — это T ( N _G ( S )), и подгруппа Inn( G ), фиксирующая S — это T ( C _G ( S )).

Кольца и алгебры

• Централизаторы в кольцах и алгебрах — это подкольца и подалгебры, соответственно, а централизаторы в кольцах Ли и алгебрах Ли — это подкольца Ли и подалгебры Ли, соответственно.
• Нормализатор S в кольце Ли содержит централизатор S .
• C _R ( C _R ( S )) содержит S , но не обязательно совпадает с ним. рассматривает случаи, когда в результате получаем совпадение.
• Если S является аддитивной подгруппой кольца Ли A , то N _A ( S ) является наибольшим подкольцом Ли A , в котором S — идеал Ли.
• Если S — подкольцо Ли кольца Ли A , то S ⊆ N _A ( S ).

См. также

• Коммутатор
• Стабилизатор подгруппы
• Норма (теория групп)

Примечания

Ссылки

• I. Martin Isaacs. Algebra: a graduate course. — reprint of the 1994 original. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. — С. xii+516. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 978-0-8218-4799-2 .
• Nathan Jacobson. Basic algebra. — 2. — Dover, 2009. — Т. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1 .
• Nathan Jacobson. Lie algebras. — republication of the 1962 original. — New York: Dover Publications Inc., 1979. — С. ix+331. — ISBN 0-486-63832-4 .