Сферический цилиндр ( сферическая призма , англ. spherinder ) — объект занимательной математики в четырёхмерном евклидовом пространстве , определяемый как прямое произведение трёхмерного шара радиуса ${\displaystyle r_{1}}$ и отрезка линии длиной ${\displaystyle 2r_{2}}$ :

${\displaystyle D=\{(x,y,z,w)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqslant r_{1}^{2},\ w^{2}\leqslant r_{2}^{2}\}}$ .

В трёхмерном пространстве при стереографической проекции отражается как две концентрические сферы, подобно тому, как тессеракт (кубическая призма) может быть спроецирован как два концентрических куба, и как цилиндр может быть спроецирован в двухмерное пространство как две концентрические окружности.

Как и , является четырёхмерным аналогом трёхмерного цилиндра (который является декартовым произведением круга на отрезок прямой). Если в трёхмерном пространстве цилиндр можно считать промежуточным звеном между кубом и сферой , то четырёхмерном пространстве есть три промежуточные формы между тессерактом и гиперсферой :

• тессеракт ( отрезок × отрезок × отрезок × отрезок), гиперповерхность которого представляет собой восемь кубов , соединённых в 24 квадратах ;
• кубический цилиндр ( круг × отрезок × отрезок);
• сферический цилиндр ( шар × отрезок);
• (круг × круг);
• гиперсфера (четырехмерный шар ),

эти построения соответствуют пяти разбиениям числа 4.

Можно определить «цилиндро-сферическую» систему координат ${\displaystyle (r,\vartheta ,\varphi ,w)}$ , состоящую из сферических координат с дополнительной координатой ${\displaystyle w}$ аналогично тому, как определяются цилиндрические координаты ( полярные координаты ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle \varphi }$ с координатой высоты ${\displaystyle z}$ ). Такие координаты можно преобразовать в декартовы координаты по формулам:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi \sin \theta \\y&=r\sin \varphi \sin \theta \\z&=r\cos \theta \\w&=w\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle r}$ — радиус, ${\displaystyle \theta }$ — зенитный угол, ${\displaystyle \varphi }$ — азимутальный угол, а ${\displaystyle w}$ — высота. Декартовы координаты можно преобразовать в «цилиндро-сферические» преобразуются по формулам:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\varphi &=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}\\\theta &=\operatorname {arcctg} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\w&=w\end{aligned}}}$

Элемент гиперобъёма для сферических координат равен ${\displaystyle \mathrm {d} H=r^{2}\sin {\theta }\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} w}$ , который может быть получен путём вычисления якобиана .

Гиперобъём сферического цилиндра с основанием радиуса ${\displaystyle r}$ и высотой ${\displaystyle h}$ равен:

${\displaystyle H={\frac {4}{3}}\pi r^{3}h}$ .

Объём поверхности сферического цилиндра складывается из трёх частей: объёмов верхнего и нижнего основания ( ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$ каждый) и объёма боковой поверхности ( ${\displaystyle 4\pi r^{2}h}$ ), то есть:

${\displaystyle SV={\frac {8}{3}}\pi r^{3}+4\pi r^{2}h}$ .

См. также

• Тор Клиффорда ^{[ уточнить ]}

Литература

• Henry P. Manning. // N. Y.: Munn & Company, 1910
• Chris McMullen. The Visual Guide To Extra Dimensions: Visualizing The Fourth Dimension, Higher-Dimensional Polytopes, And Curved Hypersurfaces . 2008, ISBN 978-1438298924