Метод неделимых — возникшее в конце XVI века наименование совокупности приёмов, предназначенных для вычисления площадей геометрических фигур или объёмов геометрических тел . Идея метода для плоских фигур состояла в том, чтобы разделить эти фигуры на фигуры нулевой ширины («неделимые», обычно они представляют собой параллельные отрезки), которые потом «собираются» без изменения их длины и образуют другую фигуру, площадь которой уже известна (см. примеры ниже). Вычисление объёма пространственных тел происходит аналогично, только они разделяются не на отрезки, а на «неделимые» плоские фигуры . Формализация этих приёмов во многом определила в дальнейшем зарождение и развитие интегрального исчисления .

Наиболее полное выражение и теоретическое обоснование метод неделимых получил в работе итальянского математика Бонавентуры Кавальери «Геометрия неделимых непрерывных, выведенная новым способом» ( лат. Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , 1635 год)

Пример и критика

Сам по себе метод неделимых — это набор приёмов без чёткого описания. Поэтому лучше начать со следующего примера, известного уже Архимеду .

Вычислим площадь круга радиуса ${\displaystyle R}$ . Формула для длины окружности ${\displaystyle L=2\pi R}$ считается известной.

Разобьём круг на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник с длиной основания ${\displaystyle L}$ и высотой ${\displaystyle R}$ , который тоже разобьём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса ${\displaystyle r}$ и длины ${\displaystyle L=2\pi r}$ можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины ${\displaystyle L}$ . Тогда, по , площади круга и треугольника равны. Площадь треугольника находится как произведение длины его основания на половину высоты:

${\displaystyle 2\pi R\cdot {\frac {R}{2}}=\pi R^{2}.}$

Парадокс Кавальери

Математики сразу указали на возможность ошибочного применения принципа неделимых; один из таких примеров привёл сам Кавальери в письме к Торричелли (см. рисунок). Треугольники ABD и BCD состоят из вертикальных неделимых, причём каждой неделимой левого треугольника (EF) можно взаимно-однозначно сопоставить неделимую той же длины (GH) правого треугольника. Отсюда, согласно основному принципу, можно сделать ошибочный вывод, что площади треугольников равны . Тем не менее, ясного правила для избежания ошибок Кавальери не дал.

Принцип Кавальери

Кавальери в своём трактате «Геометрия неделимых непрерывных, выведенная новым способом» сформулировал теоретические основы метода неделимых следующим образом:

Фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле [базе параллельных], а тела — как все их плоскости, взятые по любой регуле.

Если два тела имеют одинаковую высоту, и если сечения тел, равноудалённые и параллельные плоскости, на которой те покоятся, всегда останутся в заданном отношении, то и объёмы тел останутся в этом отношении.

В современном виде:

Для плоскости

Площади двух фигур с равными по длине хордами всех их общих секущих , параллельных прямой, по одну сторону от которой они лежат, равны.

Для пространства

Объёмы двух тел над плоскостью, с равными по площади сечениями всех общих секущих их плоскостей, параллельных данной плоскости, равны.

Принцип Кавальери явился одним из первых шагов на пути к интегральному исчислению . В частности, используя обозначения бесконечно малых , Кавальери доказал теорему, эквивалентную современной формуле

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\frac {a^{n+1}}{n+1}}.}$

Современными теоремами, обобщающими принцип Кавальери, являются формула коплощади и теорема Тонелли — Фубини .

Пример

Идея нахождения объёмов в этом примере восходит к Архимеду .

Вычислим объём полушария радиуса r . Формулы для площади круга, а также для объёма конуса и цилиндра считаются известными.

Проведём сечения полушария плоскостями, параллельными его основанию. Полушарие разобьётся на бесконечно малые круги (см. рисунок). На высоте h площадь сечения будет равна ${\displaystyle \pi (r')^{2}}$ , или (по теореме Пифагора ) ${\displaystyle \pi (r^{2}-h^{2})}$ .

Далее рассмотрим круговой цилиндр высоты r , с радиусом основания тоже r , из которого вырезан конус остриём вниз. Рассечём и это тело параллельно основанию. В сечении на высоте h получится кольцо площадью ${\displaystyle \pi r^{2}-\pi h^{2}}$ . Замечаем, что эта площадь такая же, как и для полушария.

Следовательно, по принципу Кавальери, объёмы обоих тел равны. Объём тела, изображённого справа на рис. 3, равен

${\displaystyle \pi \cdot r^{2}\cdot r-{\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot r={\frac {2}{3}}\pi \cdot r^{3}.}$

Вывод: объём полного шара (двух полушарий) равен ${\displaystyle 2\cdot {\frac {2}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

История

Уже Архимед в своих исследованиях рассекал пространственное тело параллельными плоскостями и представлял это тело как своего рода альбом, объединение таких сечений ( инфинитезимальное разложение , то есть разложение на бесконечно малые элементы). Здесь возможно влияние атомистов с их «неделимыми». Однако Архимед считал обязательным передоказывать результаты, полученные с помощью метода неделимых, строгим методом исчерпывания . Европейские математики, начиная с XVI века , тоже применяли метод исчерпывания для проведения квадратур (вычисления площадей) и определения центров тяжести .

Новую жизнь методу неделимых дал Кеплер в своей книге «Новая стереометрия винных бочек» (XVII век). В труде «Новая астрономия» Кеплер часто использует понятие «неделимых», в том числе при формулировке своих трёх законов движения планет; например, вместо площади он упоминал «сумму радиус-векторов».

Возможно, независимо этот метод развивал Роберваль .

Наиболее ярким и влиятельным представителем «геометрии неделимых» был Кавальери . В его изложении инфинитезимальные представления Кеплера обрели вид общих вычислительных приёмов. Мощь и относительная простота нового метода произвели чрезвычайно сильное впечатление на математиков. Целые поколения, от Валлиса до Лейбница , учились у Кавальери. Торричелли назвал метод неделимых «царской дорогой» в геометрии.

Галилей был знаком с методом неделимых, однако отчётливо видел его слабые и опасные стороны. В переписке и последних трудах он размышляет о сущности бесконечности, показывает, что бесконечное множество может быть равносчётно своей части, имеющей меньшую меру, так что рассуждения о неделимых плохо обоснованы. Тем не менее он сам фактически использовал неделимые при исследовании равноускоренного движения .

Валлис , ознакомившись с методом Кавальери по книге Торричелли, решил провести его алгебраизацию. Вместо геометрического преобразования сечений он строит в «Арифметике бесконечных» ( 1656 год ) числовые ряды, которые мы сейчас называем интегральными суммами , и находит эти суммы.

Независимо от Валлиса и лет на 30 раньше эти интегралы вычислили Ферма и Роберваль . В посмертно опубликованном сочинении Ферма виртуозно применяет такие приёмы, как интегрирование по частям и замена переменных, что позволило ему вычислить множество сложных интегралов от дробно-рациональных функций и от многочленов с дробными степенями.

Мемуар Ферма получил широкую известность, так как он почти полностью покрывает результаты Кавальери, но при этом изложенные методы существенно компактнее и понятнее. Кроме того, интегральные суммы оказались применимы к задачам, недоступным для метода Кавальери — например, спрямление ( измерение дуги ) кривой. Роберваль исследовал спираль Архимеда , Ферма и Торричелли в 1640-е годы — параболы и спирали высших порядков. Жиль Роберваль (1634—1636 гг.) и Кристофер Рен ( 1658 год ) спрямили циклоиду .

Учитывая уязвимость для критики тех открытий, которые получены с помощью метода неделимых, многие математики (Ферма, Паскаль , Барроу и др.) отмечали в своих работах, что все их результаты могут быть без труда передоказаны строгими методами древних. Барроу, правда, сделал к этой оговорке ироничное добавление: «только зачем?».

Декарт использовал инфинитезимальные методы в своей «Оптике», но в целом старался не углубляться в эту область. В трактате «Геометрия» он высказал мнение, что спрямление алгебраических линий невозможно. Это утверждение было опровергнуто лишь через двадцать лет: в 1650-х годах сразу четыре математика, включая Ферма и Гюйгенса , дали спрямление полукубической параболы . Впрочем, и сам Декарт успешно спрямил, правда, не алгебраическую, а трансцендентную кривую — логарифмическую спираль , длина дуги которой, считая от полюса, пропорциональна радиус-вектору конца дуги — свойство, которое знал и Торричелли.

Идея Валлиса — алгебраизация метода бесконечно малых — достигла высшего развития после открытия математического анализа Ньютоном и Лейбницем . В своих «Началах» Ньютон дал первый набросок общей теории пределов (11 лемм), при этом он не постулирует аналог принципа Кавальери, а строго его доказывает (следствие из леммы IV):

Если вообще две какого угодно рода величины будут разделены на одинаковое число частей и, при бесконечном возрастании числа их и уменьшении каждой из них, отношение их соответственно друг к другу, то есть первой к первой, второй ко второй и т. д., остаётся постоянным, то и самые величины будут находиться в этом же отношении.

Здесь неделимые заменены на переменные, величина которых стремится к нулю; при этом «парадокса Кавальери» уже не может возникнуть, поскольку отношение сравниваемых в парадоксе величин (ширины малых четырёхугольников в разбиении) не равно единице.

После создания анализа метод неделимых представлял уже только исторический интерес. Однако ещё более века, до работ Коши , обоснование анализа бесконечно малых было столь же неубедительным, как и у метода неделимых.

См. также

• Теорема Тонелли — Фубини

Примечания

Литература

• Лурье С. Я. Теория бесконечно-малых у древних атомистов. — М. — Л. : Изд. АН СССР, 1935.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. — М. : Наука, 1970. — Т. II.
• Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича . — М. : Просвещение, 1977. — 224 с.
• Шан-Гирей А., Флоринский Г. (рус.) // В.О.Ф.Э.М. . — 1889. — № 62 . — С. 32—34 .