Interested Article - Проблема круга Гаусса

Проблема круга Гаусса — задача определения количества точек целочисленной решётки , попадающих в круг радиуса r с центром в начале координат. Первый успех в решении этой задачи был сделан Гауссом , в честь него и названа проблема.

Проблема

В круге в $\mathbb {R} ^{2}$ с центром в начале координат радиусом $r\geqslant 0$ необходимо определить количество точек внутри круга, имеющих вид ( m , n ), где m и n — целые числа. Поскольку в декартовых координатах уравнение круга задается формулой: x ² + y ² = r ² , эквивалентной формулировкой задачи станет вопрос: какое количество пар целых чисел m и n удовлетворяет неравенству

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Если для заданного r обозначить искомое значение через N ( r ), то следующий список дает значения N ( r ) для значений целого радиуса r между 0 и 10:

1, 5 , 13 , 29 , 49, 81 , 113 , 149 , 197 , 253, 317 (последовательность в OEIS ).

Границы значений и гипотезы

Поскольку площадь круга радиуса r задается формулой π r ² , то следовало бы ожидать, что число точек будет около π r ² . На самом деле значение слегка больше этой величины на некоторую поправку E ( r )

N(r)=\pi r^{2}+E(r)

Поиск верхней границы этой поправки и составляет суть проблемы.

Гаусс показал , что

E(r)\leqslant 2{\sqrt {2}}\pi r.

Харди и, независимо, Эдмунд Ландау нашли меньшее значение границы, показав, что

E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),

в нотации o-малое . Существует гипотеза , что истинное значение равно

E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).

Если переписать последнее выражение в виде $\|E(r)\|\leqslant Cr^{t}$ , то текущие границы числа t равны

{\frac {1}{2}}<t\leqslant {\frac {131}{208}}=0{,}6298\ldots ,

где нижняя граница выведена Харди и Ландау в 1915 году, а верхняя доказана Мартином Хаксли (Martin Huxley) в 2000 году .

В 2007 году Силвейн Кэппелл (Sylvain Cappell) и Юлиус Шейнисон (Julius Shaneson) выложили в arXiv статью, содержащую доказательство границы $O(r^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })$ .

Точное представление

Значение N ( r ) можно представить как сумму некоторых последовательностей. Если использовать функцию округления вниз , то значение может быть выражено как

N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).

Много проще выглядит представление с использованием функции r ₂ ( n ), которая определяется как количество способов представить число n в виде суммы двух квадратов. В этом случае

N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).

Обобщения

Хотя начальная формулировка задачи говорила о целочисленных решетках в круге, нет причин останавливаться только на круге. Можно ставить задачу нахождения числа точек решетки в других фигурах или конусах . «Проблема делителей» Дирихле эквивалентна данной задаче при замене круга гиперболой . Можно также распространить задачу на большие размерности, и говорить о числе точек внутри n-мерной сферы или другого объекта. Можно отказаться от геометрического представления проблемы и перейти к диофантовым неравенствам.

Проблема круга для взаимно простых чисел

Другим обобщением может служить вычисление количества взаимно простых целых решений m и n уравнения

m^{2}+n^{2}\leqslant r^{2}.

Эта задача известна как проблема круга для взаимно простых чисел или проблема круга для примитивных чисел Если обозначить число таких решений через V ( r ), то V ( r ) для малых целых значений радиуса r равны

0, 4 , 8 , 16 , 32 , 48 , 72 , 88 , 120 , 152, 192, … последовательность в OEIS .

Используя те же самые идеи, что и для обычной проблемы Гаусса, и исходя из факта, что вероятность взаимной простоты двух чисел равна 6/ π ² , относительно легко показать, что

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).

Как и в обычной постановке, задача для взаимно простых чисел заключается в уменьшении показателя экспоненты в поправке. На настоящее время лучшим известным показателем является ${\tfrac {221}{304}}+\epsilon$ , если принять гипотезу Римана . Без принятия гипотезы Римана наилучшей верхней границей является

V(r)={\tfrac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))

для некоторой положительной постоянной c .

В частности, неизвестны границы поправки вида $1-\epsilon$ для любого $\epsilon >0$ , если не принимать гипотезу Римана.

См. также

Геометрия чисел

Примечания

↑ G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1999), p.67.
G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares , Quart. J. Math. 46 , (1915), pp.263—283.
↑ R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition , Springer, (2004), pp.365—366.
M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function , Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275—290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR : .
S. Cappell and J. Shaneson, Some Problems in Number Theory I: The Circle Problem , arXiv : , (2007).
D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination , New York: Chelsea, (1999), pp.37—38.
↑ J. Wu, On the primitive circle problem , Monatsh. Math. 135 (2002), pp.69—81.