Ко́нус
(через
нем.
Konus
и
лат.
cōnus
, от
др.-греч.
κώνος
— «сосновая шишка»
) —
поверхность
, образованная в пространстве множеством
лучей
(образующих конуса), соединяющих все точки некоторой
плоской кривой
(направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса)
.
Если направляющая конуса — замкнутая кривая, то коническая поверхность служит границей пространственного
тела
, которое также называют «конусом» (см. рисунок), а внутренность этой кривой называют «основанием конуса», если основание конуса представляет собой
многоугольник
, такой конус является
пирамидой
.
Иногда вместо лучей рассматривают прямые, тогда получается двойной конус, состоящий из двух симметричных относительно вершины частей.
Конус и связанные с ним
конические сечения
играют большую роль в математике, астрономии и других науках.
Высота конуса
— отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
Угол раствора конуса
— угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Конусность
— соотношение высоты и диаметра основания конуса.
Типы конусов
Прямой круговой конус
Прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: их объём одинаков
Усечённый прямой круговой конус
Прямой конус
— конус, основание которого имеет
центр симметрии
(например, является
кругом
или
эллипсом
) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется
осью конуса
.
Косой
(или
наклонный
)
конус
— конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус
— конус, основание которого является кругом.
Конус вращения
, или
прямой круговой конус
(часто под конусом подразумевают именно его) — конус, который можно получить вращением (то есть
тело вращения
)
прямоугольного треугольника
вокруг
прямой
, содержащей
катет
треугольника (эта прямая является осью конуса).
Конус, опирающийся на
эллипс
,
параболу
или
гиперболу
, называют соответственно
эллиптическим
,
параболическим
и
гиперболическим конусом
: последние два имеют бесконечный объём.
Усечённый конус
или
конический слой
— часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
Равносторонний конус
— конус вращения, образующая которого равна диаметру основания
.
Свойства
Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.
где
S
— площадь основания,
H
— высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
Центр тяжести
любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Площадь
боковой поверхности прямого кругового конуса равна
а в общем случае
где
R
— радиус основания,
— длина образующей,
— длина границы основания.
Полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания) равна
для прямого кругового конуса и
для произвольного, где
— площадь основания.
Объём
кругового (не обязательно прямого) конуса равен
Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:
где
и
— радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований,
— высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.
Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:
где
и
— площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований,
и
— расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.
Это уравнение в каноническом виде записывается как
где константы
a
,
с
определяются пропорцией
Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой
поверхность второго порядка
(она носит название
коническая поверхность
). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси
Ох
и
Оу
параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси
Oz
) её уравнение имеет вид
причём
a/c
и
b/c
равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением
где функция
является
однородной
, то есть удовлетворяющей условию
для любого действительного числа
α
.
Развёртка
Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где
h
— высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника
r
— радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является
l
— образующая конуса.
В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины
r
и
l
. Радиус основания
r
определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности
l
, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора
в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:
φ = 360°·(
r
/
l
)
.
Вариации и обобщения
В алгебраической геометрии
конус
— это произвольное подмножество
векторного пространства
над полем
, для которого для любого
В топологии конус над топологическим пространством
X
есть факторпространство
по отношению эквивалентности