Interested Article - Конус

Конус

Ко́нус (через нем. Konus и лат. cōnus , от др.-греч. κώνος — «сосновая шишка» ) — поверхность , образованная в пространстве множеством лучей (образующих конуса), соединяющих все точки некоторой плоской кривой (направляющей конуса) с данной точкой пространства (вершиной конуса) .

Если направляющая конуса — замкнутая кривая, то коническая поверхность служит границей пространственного тела , которое также называют «конусом» (см. рисунок), а внутренность этой кривой называют «основанием конуса», если основание конуса представляет собой многоугольник , такой конус является пирамидой .

Двойной конус

Иногда вместо лучей рассматривают прямые, тогда получается двойной конус, состоящий из двух симметричных относительно вершины частей.

Конус и связанные с ним конические сечения играют большую роль в математике, астрономии и других науках.

Связанные определения

  • Боковая поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
  • Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
  • Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
  • Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

Типы конусов

  • Прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом ) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
  • Косой (или наклонный ) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  • Конус вращения , или прямой круговой конус (часто под конусом подразумевают именно его) — конус, который можно получить вращением (то есть тело вращения ) прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет треугольника (эта прямая является осью конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом : последние два имеют бесконечный объём.
  • Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
  • Равносторонний конус — конус вращения, образующая которого равна диаметру основания .

Свойства

  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.
где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
где α — угол раствора конуса.
  • Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса равна
а в общем случае
где R — радиус основания, — длина образующей, — длина границы основания.
Полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания) равна
для прямого кругового конуса и
для произвольного, где — площадь основания.
  • Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен
  • Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:
где и — радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, — высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.
  • Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:
где и — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, и — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение прямого кругового конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz :

или
Это уравнение в каноническом виде записывается как
где константы a , с определяются пропорцией Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность ). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz ) её уравнение имеет вид
причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением где функция является однородной , то есть удовлетворяющей условию для любого действительного числа α .

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l . Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l , являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·( r / l ) .

Вариации и обобщения

  • В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого
  • В топологии конус над топологическим пространством X есть факторпространство по отношению эквивалентности
  • В линейной алгебре есть понятие выпуклого конуса .

См. также

Примечания

  1. Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера
  2. , с. 288.
  3. . Дата обращения: 22 мая 2020. 2 декабря 2020 года.

Литература

  • Корн Г., Корн Т. . — 2-е изд. — М. : Наука, 1970. — 720 с.
  • Конус // . — М. : Советская энциклопедия, 1988. — С. . — 847 с.
Источник —

Same as Конус