Проблема Гольдбаха ( гипотеза Гольдбаха , проблема Эйлера , бинарная проблема Гольдбаха ) — утверждение о том, что любое чётное число , начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел . Является открытой математической проблемой — по состоянию на 2024 год утверждение не доказано. В совокупности с гипотезой Римана включена в список проблем Гильберта под номером 8 .

Более слабый вариант гипотезы — тернарная проблема Гольдбаха , согласно которой любое нечётное число , начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел , — в 2013 году доказана перуанским математиком Харальдом Гельфготтом . Из справедливости бинарной проблемы Гольдбаха очевидным образом следует тернарная: если каждое чётное число, начиная с 4, — сумма двух простых чисел, то, добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа, начиная с 7.

История

В 1742 году математик Христиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру , в котором он высказал следующее предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Первое утверждение называется тернарной проблемой Гольдбаха , второе — бинарной проблемой Гольдбаха (или проблемой Эйлера ).

Гипотезу, сходную с тернарной проблемой Гольдбаха, но в более слабой форме, высказал Варинг в 1770 году : каждое нечётное — простое число или сумма трёх простых.

Тернарная проблема Гольдбаха

В 1923 году математики Харди и Литлвуд показали, что в случае справедливости некоторого обобщения гипотезы Римана проблема Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечётных чисел.

В 1937 году Виноградов представил доказательство, не зависящее от справедливости гипотезы Римана, то есть доказал, что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых. Сам Виноградов не дал явной оценки для этого «достаточно большого числа», но его студент доказал, что нижняя граница не превышает ${\displaystyle 3^{3^{15}}\approx 3.25\cdot 10^{6846168}\approx 10^{6846168}.}$ То есть это число содержит почти 7 миллионов цифр, что делает невозможной прямую проверку всех меньших чисел.

В дальнейшем результат Виноградова многократно улучшали, пока в 1989 году Ван и Чэнь не опустили нижнюю грань до ${\displaystyle e^{e^{11.503}}\approx 3.33339\cdot 10^{43000}\approx 10^{43000.5},}$ что, тем не менее, по-прежнему было вне пределов досягаемости для явной проверки всех меньших чисел.

В 1997 году , , и показали , что обобщённая гипотеза Римана влечёт справедливость тернарной проблемы Гольдбаха. Они доказали её справедливость для чисел, превышающих ${\displaystyle 10^{20},}$ в то время как справедливость утверждения для меньших чисел легко устанавливается на компьютере.

В 2013 году тернарная гипотеза Гольдбаха была окончательно доказана Харальдом Гельфготтом .

Бинарная проблема Гольдбаха

Бинарная проблема Гольдбаха всё ещё далека от решения.

Виноградов в 1937 году и Теодор Эстерманн в 1938 году показали, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел. Этот результат был немного усилен в 1975 году ( англ. ) и ( англ. ). Они показали, что существуют положительные константы ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle C}$ такие, что количество чётных чисел, не больших ${\displaystyle N}$ , непредставимых в виде суммы двух простых чисел, не превышает ${\displaystyle CN^{1-c}}$ .

В 1930 году Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем ${\displaystyle 800000}$ простых чисел . Этот результат многократно улучшался, так, в 1995 году Оливье Рамаре доказал, что любое чётное число — сумма не более чем 6 простых чисел.

Из справедливости тернарной гипотезы Гольдбаха (доказанной в 2013 году) следует, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

В 1966 году Чэнь Цзинжунь доказал , что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Например, ${\displaystyle 100=23+7\cdot 11.}$

На апрель 2012 года бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех чётных чисел, не превышающих ${\displaystyle 4\cdot 10^{18}.}$

Если бинарная гипотеза Гольдбаха неверна, то существует алгоритм , который рано или поздно обнаружит её нарушение.

Бинарная гипотеза Гольдбаха может быть переформулирована как утверждение о неразрешимости диофантова уравнения 4-й степени некоторого специального вида .

В культуре

В 1992 году вышел в свет и получил чрезвычайную популярность «роман идей» Апостолоса Доксиадиса « Дядя Петрос и проблема Гольдбаха ». В рекламных целях издательство Faber and Faber пообещало миллион долларов тому из читателей, кто в течение двух лет после тиража даст решение задачи. Роман был переведён на десятки языков, в 2002 году появился его русский перевод .

Проблема Гольдбаха является важной составляющей сюжетов фильма « Западня Ферма », вышедшего в 2007 году, и пилота сериала « Льюис » (2006 год).

Примечания

Литература

• « Математическая энциклопедия ». М. 1977. Том I, с. 94, статья «Аддитивные проблемы».
• Прахар К. П. Распределение простых чисел (рус.) . — М. : « Мир », 1967. — 512 с.
• Иэн Стюарт . Территория простых чисел. Проблема Гольдбаха // Величайшие математические задачи (рус.) . — М. : « Альпина нон-фикшн », 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Ссылки

• Коняев, Андрей . . Решена одна из старейших и сложнейших математических задач (рус.) . Лента.ру (17 июня 2013). — О завершении доказательства тернарной проблемы Гольдбаха. Дата обращения: 21 января 2016. 19 июня 2013 года.
• Петров С. — пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.