Гипотеза фон Неймана — опровергнутая гипотеза о структуре аменабельных групп .

Формулировка

Любая неаменабельная группа содержит подгруппу , изоморфную свободной группе с двумя образующими .

История

• В 1929 году, во время его работы над парадоксом удвоения шара , Джон фон Нейман ввёл понятие аменабельной группы . Он доказал, что любая группа, содержащая свободную подгруппу ранга 2, не является аменабельной. Предположение о том, что верно и обратное, было сделано несколькими математиками в 1950-х и 1960-х годах.
  • Хотя эта гипотеза носит имя фон Неймана, первая публикация с её формулировкой дана Махлоном Маршем Дэйем в 1957 году.

• Альтернатива Титса , доказанная в 1972 году, даёт положительный ответ в случае, если группа линейна, то есть является подгруппой группы матриц над некоторым полем.

• Гипотеза была опровергнута Ольшанским в 1980 году. Он показал, что монстр Тарского , который как легко видеть не имеет свободных подгрупп ранга 2, неаменабельна.

• Два года спустя, Адян показал, что определённые Бернсайдовские группы также дают контрпример.

• Возможным контрпримером является группа Томпсона F , но до сих пор не известно, является ли она аменабельной.

• Ни одна из групп перечисленных выше не является конечно заданной . В течение нескольких лет считалось, что, возможно, гипотеза верна для конечно представленных групп. Однако в 2003 году, Ольшанский и (англ.) ( построили конечно-представленные контрпримеры.

• В 2012 году Николас Монод нашёл простой контрпример к гипотезе.

• В 2013 году Лодха и Мур нашли конечно-представленные подгруппы в примере Монода, которые также дают контрпример.
  • Последний пример является первым примером без кручения, он допускает задание с тремя образующими и девятью соотношениями.
  • Лодха позже показал, что эта группа ${\displaystyle G}$ удовлетворяет свойству ${\displaystyle F_{\infty }}$ , то есть её K(G,n) пространство имеет конечное число клеток каждой размерности.

Ссылки

• Адян С.И. (рус.) // Изв. АН СССР. Серия математическая. — Т. 46 , вып. 6 . — С. 1139–1149 .
• Day, Mahlon M. (1957), "Amenable semigroups", Ill. J. Math. , 1 : 509—544
• А. Ю. Ольшанский. (рус.) // УМН . — 1980. — Т. 35 , № 4(214) . — С. 199—200 .
• Ol'shanskii, A.; Sapir, M. (2003), "Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 96 (1): 43—169, doi : {{ citation }} : Указан более чем один параметр |DOI= and |doi= ( справка )
• Monod, N. (2013), "Groups of piecewise projective homeomorphisms", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 110 (12): 4524—4527, doi : {{ citation }} : Указан более чем один параметр |DOI= and |doi= ( справка )
• Lodha, Y.; Moore, J.T., A non amenable finitely presented group of piecewise projective homeomorphisms
• Lodha, Y., A type ${\displaystyle F_{\infty }}$ group of piecewise projective homeomorphisms