Interested Article - Список моментов инерции

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину ² . Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений ^{[

уточнить

]} , который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m	$I=mr^{2}$	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r ₁ = r ₂ . Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции .
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r ₁ , внешнего радиуса r ₂ , длиной h и массой m	$I_{z}={\frac {1}{2}}m\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left[3\left({r_{2}}^{2}+{r_{1}}^{2}\right)+h^{2}\right]$ или при определении нормированной толщины t _n = t / r и полагая r = r ₂ , тогда $I_{z}=mr^{2}\left(1-t_{n}+{\frac {1}{2}}{t_{n}}^{2}\right)$	При плотности ρ и той же геометрии: $I_{z}={\frac {1}{2}}\pi \rho h\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)$
Сплошной цилиндр радиуса r , высотой h и массы m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {1}{12}}m\left(3r^{2}+h^{2}\right)$	Это частный случай предыдущего объекта при r ₁ =0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m	$I_{z}={\frac {mr^{2}}{2}}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{4}}$	Это частный случай предыдущего объекта при h =0.
Тонкое кольцо радиуса r и массы m	$I_{z}=mr^{2}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {mr^{2}}{2}}$	Это частный случай тора при b =0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r ₁ = r ₂ и h =0.
Твёрдый шар радиуса r и массы m	$I={\frac {2mr^{2}}{5}}$	Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r .
Пустотелая сфера радиуса r и массы m	$I={\frac {2mr^{2}}{3}}$	Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.
Твёрдый эллипсоид с полуосями a , b и c , с осью вращения a и массой m	$I_{a}={\frac {m(b^{2}+c^{2})}{5}}$	—
Прямой круговой конус радиуса r , высоты h и массы m	$I_{z}={\frac {3}{10}}mr^{2}$ $I_{x}=I_{y}={\frac {3}{5}}m\left({\frac {r^{2}}{4}}+h^{2}\right)$	—
Твёрдый кубоид с высотой h , шириной w , глубиной d и массой m	$I_{h}={\frac {1}{12}}m\left(w^{2}+d^{2}\right)$ $I_{w}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+d^{2}\right)$ $I_{d}={\frac {1}{12}}m\left(h^{2}+w^{2}\right)$	Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра $s$ , $I_{CM}={\frac {ms^{2}}{6}}$ .
Твёрдый кубоид с высотой D , шириной W , длиной L , массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали.	$I={\frac {m\left(W^{2}D^{2}+L^{2}D^{2}+W^{2}L^{2}\right)}{6\left(L^{2}+W^{2}+D^{2}\right)}}$	Для куба с длиной ребра $s$ , $I={\frac {ms^{2}}{6}}$ .
Тонкая прямоугольная пластина высоты h , ширины w и массы m	$I_{c}={\frac {m(h^{2}+w^{2})}{12}}$	—
Стержень длины L и массы m	$I_{\mathrm {center} }={\frac {mL^{2}}{12}}$	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = 0 .
Тонкая прямоугольная пластина высоты h , ширины w и массы m (Ось вращения в конце пластины)	$I_{e}={\frac {mh^{2}}{3}}+{\frac {mw^{2}}{12}}$	—
Стержень длины L и массы m (Ось вращения на конце стержня)	$I_{\mathrm {end} }={\frac {mL^{2}}{3}}$	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = 0 .
Тороидальная труба радиуса a , радиуса сечения b и массы m .	Ось вращения относительно диаметра: ${\frac {1}{8}}\left(4a^{2}+5b^{2}\right)m$ Ось вращения относительно вертикальной оси: $\left(a^{2}+{\frac {3}{4}}b^{2}\right)m$	—
Плоскость многоугольника с вершинами ${\vec {P}}_{1}$ , ${\vec {P}}_{2}$ , ${\vec {P}}_{3}$ , ..., ${\vec {P}}_{N}$ и массой $m$ , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.	$I={\frac {m}{6}}{\frac {\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|({\vec {P}}_{n+1}^{2}+{\vec {P}}_{n+1}\cdot {\vec {P}}_{n}+{\vec {P}}_{n}^{2})}{\sum \limits _{n=1}^{N-1}\\|{\vec {P}}_{n+1}\times {\vec {P}}_{n}\\|}}$	—
Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам (т.е. $\rho (x,y)={\tfrac {m}{2\pi ab}}\,e^{-((x/a)^{2}+(y/b)^{2})/2}$ где: $\rho (x,y)$ — плотность масс как функция x и y).	$I=m(a^{2}+b^{2})$
Две точечные массы M и m на расстоянии x друг от друга	$I={\frac {Mm}{M\!+\!m}}x^{2}=\mu x^{2}$	$\mu$ — приведённая масса .

См. также

Теорема Штейнера

Примечания

↑ Raymond A. Serway. Physics for Scientists and Engineers, second ed (англ.) . — (англ.) ( , 1986. — P. 202. — ISBN 0-03-004534-7 .
от 7 февраля 2008 на Wayback Machine . LivePhysics.com.
↑ Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston, Jr. Vector Mechanics for Engineers, fourth ed (англ.) . — McGraw-Hill Education , 1984. — P. 911. — ISBN 0-07-004389-2 .
↑ Eric W. Weisstein. . Wolfram Research . 28 июля 2012 года.