Бигармоническая функция — функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ действительных переменных , определённая в области D евклидового пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\,n\geq 2}$ , имеющая непрерывные частные производные 4-го порядка включительно, и удовлетворяющая в D уравнению:

${\displaystyle \nabla ^{4}f=\Delta ^{2}f=0}$

где ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла , ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа .

Данное уравнение называется бигармоническим уравнением . В декартовой системе координат в случае трёх переменных уравнение имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}f}{\partial z^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial y^{2}\partial z^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}f}{\partial x^{2}\partial z^{2}}}=0.}$

В полярных координатах :

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}f}{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}f}{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0.}$

Класс бигармонических функций включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая бигармоническая функция является аналитической функцией координат x _i .

Наибольшее значение с точки зрения практических применений имеют бигармонические функции ${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$ двух переменных. Такие бигармонические функции записываются с помощью гармонических функций f ₁ , f ₂ или g ₁ , g ₂ в виде

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}f_{1}(x_{1},x_{2})+f_{2}(x_{1},x_{2})}$

или

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=(r^{2}-r_{0}^{2})g_{1}(x_{1},x_{2})+g_{2}(x_{1},x_{2})}$

где ${\displaystyle r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2},}$ а ${\displaystyle r_{0}^{2}}$ — константа.

Основная краевая задача для бигармонических функций заключается в следующем: найти бигармоническую функцию в области D , непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}=D\cup C}$ , удовлетворяющую на границе C условиям

${\displaystyle f|_{C}=f_{1}(s),\quad {\frac {\partial f}{\partial \nu }}{\Bigg |}_{C}=f_{2}(s)}$

где ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \nu }}}$ — производная по нормали до C , f ₁ (s), f ₂ (s) — заданные непрерывные функции длины дуги s на контуре C .

Указанные выше представления бигармонических функций позволяют получить решения краевой задачи в явному виде в случае круга D , исходя из интеграла Пуассона для гармонических функций.

Бигармонические функции двух переменных допускают также запись

${\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\operatorname {Re} ({\bar {z}}\phi (z)+\psi (z))={\frac {1}{2}}({\bar {z}}\phi (z)+z{\overline {\phi (z)}}+\psi (z)+{\overline {\psi (z)}}),\quad {\bar {z}}=x_{1}-ix_{2}}$

с помощью двух аналитических функций ${\displaystyle \phi (z),\psi (z)}$ комплексной переменной ${\displaystyle z=x_{1}+ix_{2}}$ . Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области D к системе краевых задач для аналитических функций, метод решения которой детально разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении разных плоских задач теории упругости , в которых основным бигармоническими функциями являются функция напряжений и функция Эйри .

См. также

• Гармоническая функция

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Литература

• Математическая энциклопедия . В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия , 1985
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики , 3 изд., М., 1966, гл. 4;
• Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного , 3 изд., М., 1965.