Теорема Артина о задании группы кос — фундаментальная теорема теории кос , предоставляющая комбинаторно-алгебраическую кодировку кос .

На языке комбинаторной теории групп можно сказать, что теорема Артина представляет собой задание образующими и соотношениями для группы кос .

Введение

В своей первопроходческой работе 1925 года Эмиль Артин дал геометрическое определение косы и показал, что косы из фиксированного числа нитей образуют группу. Его определение основано на понятиях геометрической косы и изотопии , которые с трудом поддаются анализу. В связи с этим Артин ввёл комбинаторную кодировку геометрических кос, заключающуюся в их представлении в виде произведения некоторых элементарных кос, которые называются образующими Артина. Изотопия геометрических кос порождает некоторые алгебраические соотношения между этими образующими, полное описание которых и предоставляет теорема Артина.

Значимость этой теоремы состоит в том, что она сводит геометрическое изучение кос к их алгебраическому изучению, заведомо более эффективному . Можно сказать, что теорема Артина предоставляет альтернативный эквивалентный подход к формализации понятия косы.

Данная теорема играет ту же основополагающую роль для теории кос, что и теорема Рейдемейстера для теории узлов или теорема Кёрби для трёхмерной и четырёхмерной топологии. Например, она используется для определения практически всех инвариантов кос.

Формулировка

Для ${\displaystyle n\geq 2}$ пусть ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}^{-1},\sigma _{2}^{-1},\ldots ,\sigma _{n-1}^{-1}}$ — образующие Артина и их обратные. Определим следующие преобразования артиновских слов , то есть слов в алфавите из данных ${\displaystyle 2(n-1)}$ символов:

1. вставка в любое место артиновского слова фрагмента вида ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i}^{-1}}$ или ${\displaystyle \sigma _{i}^{-1}\sigma _{i}}$ , а также удаление такого фрагмента;
2. замена фрагмента вида ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}}$ на фрагмент ${\displaystyle \sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ и наоборот;
3. замена фрагмента вида ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}}$ на фрагмент ${\displaystyle \sigma _{j}\sigma _{i}}$ , если индексы ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ не являются соседними, и наоборот.

Теорема Артина гласит, что образующие Артина порождают группу кос ${\displaystyle B_{n}}$ , то есть любая коса из ${\displaystyle n}$ нитей может быть представлена некоторым артиновским словом, и любые два слова, представляющих одну и ту же косу, связаны цепочкой преобразований трёх вышеуказанных типов .

Иными словами, множество ${\displaystyle B_{n}}$ находится во взаимно-однозначном соответствии с фактормножеством множества всех артиновских слов по отношению эквивалентности, заданному такими преобразованиями. В данном соответствии:

• умножению кос отвечает конкатенация артиновских слов;
• тривиальной косе отвечает пустое слово;
• обращению косы отвечает операция замены букв слова на обратные и переписывания этого слова в обратном порядке:

${\displaystyle x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{k}}\mapsto x_{i_{k}}^{-1}x_{i_{k-1}}^{-1}\ldots x_{i_{1}}^{-1}}$ ,

где символ ${\displaystyle (\sigma _{i}^{-1})^{-1}}$ означает ${\displaystyle \sigma _{i}}$ .

Иначе говоря, группа кос допускает следующее копредставление :

${\displaystyle B_{n}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}}$ для ${\displaystyle 1\leq i\leq n-2;\ \ \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$ для ${\displaystyle |i-j|\geq 2\rangle }$ .

Данные соотношения называются соотношениями Артина . Некоторые авторы называют соотношениями Артина соотношения, соответствующие преобразованиям второго типа. Преобразования третьего типа обычно называются дальней коммутативностью . Ввиду того, что соотношения, соответствующие преобразованиям первого типа, выполняются в любой группе , их иногда называют тривиальными . Все эти преобразования произошли из теории узлов и иногда называются движениями Рейдемейстера для кос .

Примеры

В случае ${\displaystyle n=2}$ теорема Артина гласит, что любая двухниточная коса является целой степенью первой образующей Артина ${\displaystyle \sigma _{1}}$ , причем эта образующая подчиняется лишь тривиальному соотношению. Таким образом, все её степени различны:

${\displaystyle B_{2}=\{\sigma _{1}^{m}\mid m\in \mathbb {Z} \}}$ .

Иными словами, группа кос из двух нитей является бесконечной циклической :

${\displaystyle B_{2}\cong \langle \sigma _{1}\mid \varnothing \rangle \cong \mathbb {Z} }$ .

В случае ${\displaystyle n=3}$ теорема Артина гласит, что любая трёхниточная коса представляется в виде произведения образующих ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$ и их обратных, причем помимо тривиальных соотношений между данными образующими существует единственное определяющее соотношение:

${\displaystyle B_{3}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle }$ .

В образующих ${\displaystyle a:=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ и ${\displaystyle b:=\sigma _{1}\sigma _{2}}$ данное копредставление имеет вид

${\displaystyle B_{3}\cong \langle a,b\mid a^{2}=b^{3}\rangle }$ .

Таким образом, группа кос из трёх нитей изоморфна группе трилистника .

См. также

• Группа кос
• Теория кос

Примечания

Литература

• Сосинский, А. Б . (рус.) . — М. : МЦНМО , 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6 .
• Мантуров, В. О . // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО , 2010. — Т. 3 , вып. 14 . — С. 107–142 . — ISBN 978-5-94057-597-9 .
• Сосинский, А. Б . (рус.) . — М. : МЦНМО , 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0 .
• Кассель, К , Тураев, В. Г . Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Прасолов, В. В , Сосинский, А. Б . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .