Группа трилистника — группа узла трилистника , простейшего нетривиального узла . Является классическим объектом изучения комбинаторной теории групп , который возникает в теории кос , алгебраической геометрии и .

История

С группой трилистника связана важная проблема теории узлов о неэквивалентности узла трилистника и его зеркального образа (так называемых левых и правых трилистников), поставленная Титце в 1908 году . Данные узлы не удавалось отличить имеющимися на тот момент инструментами, поскольку их группы изоморфны , и это побуждало исследователей к поиску новых методов. Решение проблемы Титце было получено Деном в 1914 году на основе анализа действия автоморфизма группы трилистника, индуцированного зеркальным отражением этого узла, на периферической системе трилистника — его меридиане и параллели.

Определение

Группой трилистника называется фундаментальная группа дополнения узла трилистника ${\displaystyle T_{2,3}}$ :

${\displaystyle G_{2,3}:=\pi _{1}(S^{3}\setminus T_{2,3})}$ .

Группа трилистника может быть следующим образом задана образующими и соотношениями .

, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид

${\displaystyle G_{2,3}\cong \langle x,y,z\mid y^{-1}xy=z,\ z^{-1}yz=x,\ x^{-1}zx=y\rangle }$ .

, вычисленное на основе стандартной диаграммы трилистника, имеет вид

${\displaystyle G_{2,3}\cong \langle c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\mid c_{1}c_{4}^{-1}c_{2}=c_{2}c_{4}^{-1}c_{3}=c_{3}c_{4}^{-1}c_{1}=1\rangle }$ .

Группа трилистника является элементом серии групп ${\displaystyle G_{p,q}}$ торических узлов и зацеплений типа ${\displaystyle (p,q)}$ . В частности, она допускает стандартное для этой серии задание

${\displaystyle G_{2,3}\cong \langle a,b\mid a^{2}=b^{3}\rangle }$ .

Данное задание может быть получено из копредставления Виртингера правилами ${\displaystyle a=yzy}$ и ${\displaystyle b=yz}$ , или, что то же самое, ${\displaystyle y=ab^{-1}}$ и ${\displaystyle z=b^{2}a^{-1}}$ .

Связь с теорией кос

Группа трилистника изоморфна группе кос ${\displaystyle B_{3}}$ из трёх нитей:

${\displaystyle G_{2,3}\cong B_{3}}$ .

А именно, в образующих ${\displaystyle \sigma _{1}:=y}$ и ${\displaystyle \sigma _{2}:=z}$ копредставление Виртингера принимает вид стандартного копредставления группы кос ${\displaystyle B_{3}}$ :

${\displaystyle G_{2,3}\cong \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle }$ .

Концептуальным объяснением данного изоморфизма является гомотопическая эквивалентность дополнения трилистника и конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {UConf} _{3}(\mathbb {R} ^{2})}$ неупорядоченных наборов трёх различных точек на плоскости (см. Конфигурационное пространство (топология) § Тройки точек на плоскости ).

Связь с алгебраической геометрией

Группа трилистника изоморфна обыкновенного каспа , или, что приводит к тому же,

${\displaystyle G_{2,3}\cong \pi _{1}(\mathbb {C} ^{2}\setminus Y)}$ ,

где ${\displaystyle Y:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\mid x^{2}=y^{3}\}}$ . Данный изоморфизм тесно связан с вышеуказанной интерпретацией дополнения трилистника.

Связь с алгебраической К-теорией

Группа трилистника изоморфна второй кольца целых чисел :

${\displaystyle G_{2,3}\cong St_{2}(\mathbb {Z} )}$ .

А именно, в образующих ${\displaystyle x_{1,2}:=\sigma _{1}}$ и ${\displaystyle x_{2,1}:=\sigma _{2}^{-1}}$ копредставление группы кос ${\displaystyle B_{3}}$ принимает вид стандартного копредставления группы ${\displaystyle St_{2}(\mathbb {Z} )}$ с одним соотношением Стейнберга:

${\displaystyle G_{2,3}\cong \langle x_{1,2},x_{2,1}\mid x_{1,2}x_{2,1}^{-1}x_{1,2}=x_{2,1}^{-1}x_{1,2}x_{2,1}^{-1}\rangle }$ .

Пролить свет на данный изоморфизм можно следующим образом .

Дополнение трилистника и фактор специальной линейной группы ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )}$ , рассматриваемой как группа Ли , по решетке ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ гомеоморфны :

${\displaystyle S^{3}\setminus T_{2,3}\cong {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {R} )/{\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ .

Универсальное накрытие

${\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}}\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

является гомоморфизмом групп Ли . Обозначим символом ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}}}$ прообраз подгруппы ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ относительно этого гомоморфизма. Иными словами, группа ${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}}}$ является ядром композиции

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}}\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ .

Данная композиция сама является универсальным накрытием, и следовательно, имеется следующая цепочка изоморфизмов:

${\displaystyle {\overline {\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}}\cong \pi _{1}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))\cong \pi _{1}(S^{3}\setminus T_{2,3})\cong G_{2,3}}$ .

Получающийся из этой цепочки и универсального накрытия ${\displaystyle \pi }$ эпиморфизм

${\displaystyle \psi \colon G_{2,3}\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

переводит образующие ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{2}}$ группы трилистника в :

${\displaystyle \sigma _{1}\mapsto e_{1,2}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ,

${\displaystyle \sigma _{2}\mapsto e_{2,1}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}}$ .

Гомоморфизм ${\displaystyle \psi }$ не является мономорфизмом . А именно, его ядро является бесконечным циклическим и порождается элементом

${\displaystyle a^{4}=b^{6}=(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1})^{4}=(\sigma _{1}\sigma _{2})^{6}}$ .

Свойства

Центр ${\displaystyle Z(G_{2,3})}$ группы трилистника, как и группы любого торического зацепления, является бесконечным циклическим, а именно, он порождён элементом

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1})^{2}=(\sigma _{1}\sigma _{2})^{3}}$ .

В группе кос ${\displaystyle B_{3}}$ такому элементу соответствует центральная коса ${\displaystyle \Delta _{3}^{2}}$ .

Как и для любого узла, абелианизация группы трилистника изоморфна первой группе гомологий дополнения трилистника и является бесконечной циклической:

${\displaystyle G_{2,3}^{ab}\cong H_{1}(S^{3}\setminus T_{2,3};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ .

Гомоморфизм абелианизации ${\displaystyle G_{2,3}\to \mathbb {Z} }$ сопоставляет образующим ${\displaystyle \sigma _{1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{2}}$ число ${\displaystyle 1}$ , а образующим ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — числа ${\displaystyle 3}$ и ${\displaystyle 2}$ .

Коммутант ${\displaystyle [G_{2,3},G_{2,3}]}$ группы трилистника является свободной группой ранга два. Это связано с тем, что узел трилистник, как и любое торическое зацепление, является расслоённым . В качестве двухэлементного базиса можно взять, например, элементы ${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}^{-1}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}^{-2}}$ .

Группа трилистника является линейной , то есть допускает точное представление в полную линейную группу над некоторым полем. Например, представление Бурау группы кос из трёх нитей является точным.

Факторгруппы

Модулярная группа

Факторгруппа группы трилистника по её центру изоморфна модулярной группе :

${\displaystyle G_{2,3}/Z(G_{2,3})\cong {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ .

Данный изоморфизм получается из теоремы о гомоморфизме , применённой к композиции

${\displaystyle G_{2,3}\to {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\to {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

вышеприведённого эпиморфизма ${\displaystyle \psi }$ и канонической проекцией на факторгруппу группы ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ по её двухэлементному центру ${\displaystyle \{I_{2},-I_{2}\}}$ . Поскольку образующая ${\displaystyle -I_{2}}$ данного центра может быть представлена в виде

${\displaystyle (e_{1,2}e_{2,1}^{-1}e_{1,2})^{2}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$ ,

ядро полученного эпиморфизма порождено элементом ${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1})^{2}}$ , и следовательно, совпадает с центром группы трилистника.

Такой эпиморфизм

${\displaystyle G_{2,3}\to {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$

является примером проективного представления группы трилистника.

См. также

• Модулярная группа

Примечания

Литература

• Кассель, К. , Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Милнор, Дж . Введение в алгебраическую K-теорию. — М. : Мир , 1974. — 199 с.
• Магнус, В , Чандлер, Б . Развитие комбинаторной теории групп. Очерк истории развития идей = The History of Combinatorial Group Theory. A Case Study in the History of Ideas (рус.) . — М. : Мир , 1985. — 256 с.
• Murasugi, K , Kurpita, B. I . A Study of Braids. — Springer , 1999. — 277 с. — (Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-0-7923-5767-4 . — doi : .

Ссылки

• Серр, Ж.-П . // Математика / пер. В. И. Данилова под редакцией Ю. И. Манина. — 1974. — Т. 18 , вып. 1 . — С. 3–51 .