Группа крашеных кос (или группа чистых кос , от англ. pure braid group ) — группа , образованная для заданного ${\displaystyle n}$ всеми крашеными косами из ${\displaystyle n}$ нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос ${\displaystyle B_{n}}$ и обозначается символом ${\displaystyle P_{n}}$ .

Определение

Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.

Геометрические косы

Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении . Произведение ${\displaystyle \alpha \beta }$ двух крашеных кос ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество ${\displaystyle P_{n}}$ всех крашеных кос из ${\displaystyle n}$ нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой , которая называется группой крашеных кос .

Траектории движения точек на плоскости

Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства ${\displaystyle \operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ упорядоченных наборов ${\displaystyle n}$ различных точек евклидовой плоскости :

${\displaystyle P_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2}))}$ .

Автоморфизмы свободной группы

Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.

Автогомеоморфизмы проколотого диска

Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого с ${\displaystyle n}$ проколами :

${\displaystyle P_{n}\cong {\rm {PMCG}}(D_{n}^{2};\partial D_{n}^{2})}$ .

Задание образующими и соотношениями

Группа крашеных кос является конечно представленной . Простейшее её задание выглядит следующим образом.

Для таких ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ , что ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$ , пусть

${\displaystyle A_{i,j}:=\sigma _{j-1}\sigma _{j-2}\ldots \sigma _{i+1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{i+1}^{-1}\ldots \sigma _{j-2}^{-1}\sigma _{j-1}^{-1}}$ .

Данные ${\displaystyle n(n-1)/2}$ кос порождают группу крашеных кос ${\displaystyle P_{n}}$ . Они называются стандартными образующими или образующими Маркова .

В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями :

${\displaystyle A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s}={\begin{cases}A_{r,s}^{-1}A_{i,j}A_{r,s},&s<i\ {\text{ или }}\ i<r<s<j;\\A_{r,j}A_{i,j}A_{r,j}^{-1},&s=i;\\A_{r,j}A_{s,j}A_{i,j}A_{s,j}^{-1}A_{r,j}^{-1},&i=r<s<j,\\{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}A_{i,j}{\text{[}}A_{r,j},A_{s,j}{\text{]}}^{-1},&r<i<s<j,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$ — коммутатор элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .

Причёсанная нормальная форма

Представление крашеной косы ${\displaystyle \beta \in P_{n}}$ в виде

${\displaystyle \beta =\beta _{n}\beta _{n-1}\ldots \beta _{2}}$

называется её причёсанным видом , если каждая коса ${\displaystyle \beta _{k}}$ имеет геометрического представителя , у которого все нити, кроме ${\displaystyle k}$ -ой, являются прямыми, а ${\displaystyle k}$ -ая зацепляется только за нити с меньшими номерами .

Запись косы ${\displaystyle \beta }$ , в которой каждая коса ${\displaystyle \beta _{k}}$ представлена в виде в образующих ${\displaystyle A_{1,k},A_{2,k},\ldots ,A_{k-1,k}}$ , называется её причёсанной нормальной формой :

${\displaystyle \beta =(A_{i_{1},n}^{e_{1}}A_{i_{2},n}^{e_{2}}\ldots A_{i_{k},n}^{e_{k}})\cdot (A_{j_{1},n-1}^{r_{1}}A_{j_{2},n-1}^{r_{2}}\ldots A_{j_{m},n-1}^{r_{m}})\cdot \ldots \cdot A_{1,2}^{s}.}$

См. также

• Группа кос
• Теория кос

Примечания

Литература

• Кассель, К , Тураев, В. Г . Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М. : МЦНМО , 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6 .
• Прасолов, В. В , Сосинский, А. Б . Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия (рус.) . — М. : МЦНМО , 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3 .

Ссылки

• Малютин, А. В. . // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21 , вып. 2 . — С. 113—135 .