Interested Article - Граф Мёбиуса — Кантора

Граф Мёбиуса — Кантора — симметричный двудольный кубический граф с 16 вершинами и 24 рёбрами, названный в честь Августа Фердинанда Мёбиуса и Зелигмана Кантора (1857—1903). Его можно определить как обобщённый граф Петерсена $G(8,3)$ , то есть он образован вершинами восьмиугольника , соединёнными с восьмиугольной звездой, в которой каждая точка соединена с третьей по счёту точкой.

Конфигурация Мёбиуса — Кантора

Мёбиус в 1828 году поставил вопрос о существовании пары многоугольников с $p$ сторонами в каждом, обладающих свойством, что вершины одного многоугольника лежат на прямых, проходящих через стороны другого, и наоборот. Если такая пара существует, то вершины и стороны этих многоугольников должны образовывать проективную конфигурацию . Для $p=4$ не существует решения на евклидовой плоскости , но в 1882 году Кантор нашёл пару многоугольников такого типа в обобщении задачи, в котором точки и рёбра принадлежат комплексной проективной плоскости , то есть в решении Кантора координатами вершин многоугольника являются комплексные числа . Решение Кантора для $p=4$ — пара взаимно вписанных четырёхугольника на комплексной проективной плоскости, называется конфигурацией Мёбиуса — Кантора . Граф Мёбиуса — Кантора получил своё имя от конфигурации Мёбиуса — Кантора, поскольку он является графом Леви этой конфигурации. Граф имеет одну вершину для каждой точки конфигурации и по точке для каждой тройки, а рёбра соединяют две вершины, если одна вершина соответствует точке, а другая — тройке, содержащей эту точку.

Связь с гиперкубом

Граф Мёбиуса — Кантора является подграфом четырёхмерного графа гиперкуба и образован путём удаления восьми рёбер из гиперкуба . Поскольку гиперкуб является графом единичных расстояний , граф Мёбиуса — Кантора можно тоже изобразить на плоскости со всеми сторонами единичной длины, хотя такое представление приведёт к появлению перекрещивающихся рёбер.

Топология

Граф Мёбиуса — Кантора, вложенный в тор. Рёбра, выходящие вверх из центрального квадрата следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вниз, а выходящие из квадрата рёбра слева следует рассматривать соединёнными с соответствующими рёбрами, выходящими из квадрата вправо.

Граф Мёбиуса — Кантора нельзя вложить в плоскость без пересечений, его число скрещиваний равно 4, и он является наименьшим кубическим графом с таким числом скрещиваний . Кроме того, граф даёт пример графа, все подграфы которого имеют число пересечений на два и более отличающихся от числа пересечений самого графа . Однако он является тороидальным — существует его вложение в тор , при котором все его грани являются шестиугольниками . Двойственный граф этого вложения — это граф гипероктаэдра $K_{2,2,2,2}$ .

Существует даже более симметричное вложения графа Мёбиуса — Кантора в , являющееся правильной картой и имеющее шесть восьмиугольных граней, в котором все 96 симметрий графа можно осуществить как симметрии вложения . 96-элементную группу симметрии вложения имеет граф Кэли , который может быть вложен в двойной тор. В 1984 году показано, что это единственная группа рода два .

Скульптура Девитта Годфри ( DeWitt Godfrey ) и Дуэйна Мартинеса ( Duane Martinez ) в виде двойного тора с вложенным графом Мёбиуса — Кантора выставлялась в Техническом музее Словении на шестой Словенской международной конференции по теории графов в 2007 году. В 2013 году вращающаяся версия скульптуры была выставлена в Колгейтском университете .

Граф Мёбиуса — Кантора допускает вложение в (тор третьего рода), которое даёт правильную карту , имеющую четыре 12-угольных грани; .

В 2004 году в рамках исследования возможных химических углеродных структур, изучено семейство всех вложений графа Мёбиуса — Кантора в двумерные многообразия , в результате показано, что существует 759 неэквивалентных вложений .

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Мёбиуса — Кантора — это группа порядка 96 . Она действует транзитивно на вершины и на рёбра, поэтому граф Мёбиуса — Кантора является симметричным . У него есть автоморфизмы, которые переводят любую вершину в любую другую и любое ребро в любое другое. Согласно списку Фостера граф Мёбиуса — Кантора является единственным симметричным графом с 16 вершинами и наименьшим кубическим симметричным графом, который не является дистанционно-транзитивным . Граф Мёбиуса — Кантора является также графом Кэли .

Обобщённый граф Петерсена $G(n,k)$ является вершинно-транзитивным в том и только в том случае, когда $n=10$ и $k=2$ , или когда $k^{2}=\pm 1{\pmod {n}}$ , и рёберно-транзитивным только в следующих семи случаях: $(n,k)\in \{(4,1),(5,2),(8,3),(10,2),(10,3),(12,5),(24,5)\}$ . Таким образом, граф Мёбиуса — Кантора является одним этих семи ребёрно-транзитивных обобщённых графов Петерсена. Его симметричное вложение в двойной тор — одна из семи правильных кубических карт, для которых общее число вершин вдвое больше числа вершин граней . Среди семи симметричных обобщённых графов Петерсена находятся кубический граф $G(4,1)$ , граф Петерсена $G(5,2)$ , граф додекаэдра $G(10,2)$ , граф Дезарга $G(10,3)$ и граф Науру $G(12,5)$ .

Характеристический многочлен графа Мёбиуса — Кантора равен:

(x-3)(x-1)^{3}(x+1)^{3}(x+3)(x^{2}-3)^{4}.\

Примечания

.
.
.
последовательность в OEIS
Dan McQuillan, R. Bruce Richter. On the crossing numbers of certain generalized Petersen graphs // Discrete Mathematics. — 1992. — Т. 104 , вып. 3 . — С. 311–320 . — doi : .
↑ .
.
.
.
Royle, G. (недоступная ссылка)
, Dobcsányi, P. «Trivalent Symmetric Graphs Up to 768 Vertices.» J. Combin. Math. Combin. Comput. 40, 41-63, 2002
.
.

Ссылки

H. S. M. Coxeter. Self-dual configurations and regular graphs // Bulletin of the American Mathematical Society . — 1950. — Т. 56 , вып. 5 . — С. 413–455 . — doi : .
R. Frucht, J. E. Graver, M. E. Watkins. The groups of the generalized Petersen graphs // . — 1971. — Т. 70 , вып. 02 . — С. 211–218 . — doi : .
S. Kantor. Über die Configurationen (3, 3) mit den Indices 8, 9 und ihren Zusammenhang mit den Curven dritter Ordnung // Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien. — 1882. — Т. 84 , вып. 1 . — С. 915–932 . .
E. Lijnen, A. Ceulemans. Oriented 2-Cell Embeddings of a Graph and Their Symmetry Classification: Generating Algorithms and Case Study of the Möbius-Kantor Graph // J. Chem. Inf. Comput. Sci.. — 2004. — Т. 44 , вып. 5 . — С. 1552–1564 . — doi : . — .
Dragan Marušič, Tomaž Pisanski. The remarkable generalized Petersen graph G (8,3) // Math. Slovaca. — 2000. — Т. 50 . — С. 117–121 .
Peter McMullen. The regular polyhedra of type { p , 3} with 2 p vertices // Geometriae Dedicata . — 1992. — Т. 43 , вып. 3 . — С. 285–289 . — doi : .
A. F. Möbius. Kann von zwei dreiseitigen Pyramiden eine jede in Bezug auf die andere um- und eingeschrieben zugleich heissen? // . — 1828. — Т. 3 . — С. 273–278 . . В Gesammelte Werke (1886), том 1, страницы 439—446.
Thomas W. Tucker. There is only one group of genus two // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1984. — Т. 36 , вып. 3 . — С. 269–275 . — doi : .
W. Threlfall. Gruppenbilder // Abhandlungen der Mathematisch-Physischen Klasse der Sächsischen Akademie der Wissenschaften. — 1932. — Т. 41 , вып. 6 . — С. 1–59 . .
Unveiling of the sculpture.