Спрямляемое множество — обобщение спрямляемой кривой на высшие размерности .

Спрямляемые множества являются основным объектом исследования в геометрической теории меры . На спрямляемые множества обобщается большое число понятий определённых для гладких многообразий . В том числе объёма, касательного пространства , понятие почти всюду и т. д.

Определение

Подмножество ${\displaystyle E}$ в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ называется ${\displaystyle m}$ -спрямляемым множеством, если существует счётное множество ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ непрерывно дифференцируемых отображений

${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$

таких, что

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}\left[E\backslash \bigcup _{i=0}^{\infty }f_{i}\left(\mathbb {R} ^{m}\right)\right]=0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}}$ обозначает ${\displaystyle m}$ -мерную меру Хаусдорфа .

Замечания

• Функции ${\displaystyle f_{i}}$ в определении могут быть заменены на липшицевы , при этом класс спрямляемых множеств останется без изменений .

Примечания

Литература

• Федерер Г., Геометрическая теория меры, 1987, с. 760.
• Federer, Herbert (1969), Geometric measure theory , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, New York: Springer-Verlag, pp. xiv+676, ISBN 978-3-540-60656-7 , MR {{ citation }} : Недопустимый |ref=harv ( справка )
• (1984), Lectures on Geometric Measure Theory , Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, vol. 3, Canberra : Centre for Mathematics and its Applications (CMA), Australian National University , pp. VII+272 (loose errata), ISBN 0-86784-429-9 , Zbl