То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается ${\displaystyle K}$ или ${\displaystyle L}$ ) — одна из замечательных точек треугольника .

Определение

У точки Лемуана существует три равносильных определения:

• точка пересечения прямых, соединяющих каждую вершину треугольника с точками пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из двух других вершин.
• точка пересечения симедиан .
• точка пересечения прямых, соединяющих середины сторон треугольника с серединами соответствующих им высот.

Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане .

Доказательство

Пусть ${\displaystyle A_{1}}$ — точка пересечения касательных в вершинах ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ к описанной окружности, ${\displaystyle A_{M}}$ — середина стороны ${\displaystyle BC}$ . Тогда, так как ${\displaystyle BC}$ — поляра точки ${\displaystyle A_{1}}$ относительно описанной окружности, а ${\displaystyle A_{M}}$ — основание перпендикуляра на сторону ${\displaystyle BC}$ из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{M}}$ симметричны относительно окружности . Пусть точка ${\displaystyle A_{0}}$ — середина дуги ${\displaystyle BC}$ описанной окружности, не содержащей точки ${\displaystyle A}$ . Тогда ${\displaystyle \angle A_{0}AA_{M}=\angle A_{0}AA_{1}}$ , то есть прямая ${\displaystyle AA_{1}}$ и медиана ${\displaystyle AA_{M}}$ симметричны относительно биссектрисы ${\displaystyle AA_{0}}$ . Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а, значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.

Шестиугольник Лемуана, вписанный в данный опорный треугольник

Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана . В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.

Круги Лемуана

Лемуан доказал, что если прямые линии проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника лежат на одной окружности, или что они лежат на окружности. . Эта окружность теперь известна, как первый круг или окружность Лемуана , или просто как круг Лемуана . . Иными словами, шестиугольник Лемуана , определенный выше, является вписанным в окружность Лемуана .

История

Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил ( 1809 ) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье . Этой точке было посвящено исследование ( 1847 ) , в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана , опубликовавшего доказательство существования точки ( 1873 ). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана "одним из драгоценных камней в короне современной геометрии".

Свойства

• Сумма квадратов расстояний от точки на плоскости до сторон треугольника минимальна, когда эта точка является точкой Лемуана .
• Расстояния от точки Лемуана до сторон треугольника пропорциональны длинам сторон.
• Точка Лемуана является точкой пересечения медиан треугольника, образованного проекциями точки Лемуана на стороны. Более того, такая точка единственна.
• Точка Лемуана является точкой Жергонна треугольника, образованного касательными к описанной окружности в вершинах треугольника. Этот треугольник называется тангенциальным треугольником .
• Точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан
• Точка Лемуана изотомически сопряжена его точке Брокара (третьей, в энциклопедии центров треугольника обозначенной как Х(76) ).
• Точка Лемуана является описанной окружности. Трилинейные поляры точек на описанной окружности проходят через точку Лемуана.

• Окружность, построенная на отрезке ${\displaystyle OK}$ ( ${\displaystyle O}$ — центр описанной окружности) как на диаметре, содержит точки Брокара . Эта окружность называется окружностью Брокара .
• Прямая ${\displaystyle OK}$ называется . Она содержит точки Аполлония и изогонально сопряжена гиперболе Киперта .
• Две точки Торричелли и точка Лемуана лежат на одной прямой.
• Точки Аполлония лежат на прямой, соединяющей центр описанной окружности с точкой Лемуана . Эта прямая называется .
• При проективных преобразованиях , сохраняющих описанную окружность треугольника, точка Лемуана будет переходить в точку Лемуана образа этого треугольника.
• Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара . Его перспектором служит точка Лемуана .

Две окружности Лемуана

• Если провести через точку Лемуана отрезки, параллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (на первой окружности Лемуана ). Центром первой окружности Лемуана является середина отрезка, который соединяет центр описанной окружности треугольника с точкой Лемуана .
• Если провести через точку Лемуана отрезки, антипараллельные сторонам треугольника, с концами на сторонах, то концы этих отрезков будут лежать на одной окружности (на второй окружности Лемуана ). Точка Лемуана будет её центром.

Координаты

• Трилинейные координаты точки Лемуана — ${\displaystyle (a:b:c)}$ ,
• барицентрические — ${\displaystyle (a^{2}:b^{2}:c^{2})}$ .

Ссылки

Примечания