Куби́ка или ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости ( проективной или аффинной ), заданных кубическим уравнением

${\displaystyle F\left(x,y,z\right)=0,}$

которое применяется к однородным координатам на проективной плоскости. Чтобы перейти к аффинной версии, достаточно положить z = 1 .

Иногда кубикой также называют гиперповерхность 3-го порядка в пространстве произвольной размерности .

Ударение

В Математическом энциклопедическом словаре приведено ударение «куби́ка» . В другом словаре — «ку́бика» . В разговорном языке употребляется произношение с ударением на первый слог: «ку́бика» .

Классификация

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году .

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

• ${\displaystyle xy^{2}+ey\,=\,ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ ;
• ${\displaystyle xy\,=\,ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ ;
• ${\displaystyle y^{2}\,=\,ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ ;
• ${\displaystyle y\,=\,ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ .

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом, однако, 6 типов . Полную классификацию дал Плюккер .

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n -го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта .

Свойства

• Теорема о девяти точках на кубике (теорема Шаля): даны две кубики A и B , имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
• На кубике взяли точку A и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке A , другая — в точке B . Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны X и Y . Тогда X = 16 Y .
• Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
• Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в ℝ² есть 4. Например, у кубики f ( x , y ) = 3 x ³ − 5 y ² x − 4 x ² − 10 yx + 10 y ² − 6 x + 20 y + 12 график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки.
• Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
• На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой .
• Прямая пересекает кубику в точках A , B , C . Касательные, восстановленные к кубике в точках A , B , C , пересекают кубику второй раз в точках P , Q , R . Тогда точки P , Q , R также лежат на одной прямой .

Применения

• Кубические кривые применяются в языке PostScript , включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
• Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография .
• Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик .
• Фрэнк Морли доказал известную теорему, названную в его честь , изучая свойства кубик .

См. также

• Теорема о девяти точках на кубике
• Кубики, связанные с треугольником
• Эллиптическая кривая
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик
• Изометрическая эквивалентность
• Аффинная эквивалентность

Примечания

Ссылки

• Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированных точек) на языках и .