Соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками , при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.

Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах , например, . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу , что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Классификация

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм , построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Однородные трёхмерные соты

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве , составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах ). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространстве , называемых также .

Соты называются правильными , если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги , где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты . Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

Тип	Кубические соты	Квазиправильные соты
Ячейки	Кубические	Октаэдральные и тетраэдральные
Слой

и состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

Заполняющие пространство многогранники

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о или изохорных . Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках .

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками :

1. Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед , ромбический шестигранник или параллелепипед );
2. Шестиугольные призматические соты ;
3. ;
4. ;
5. .

Кубические соты	*
Куб (параллелепипед)	Шестиугольная призма	Ромбододекаэдр		Усечённый октаэдр
3 длины рёбер	3+1 длины рёбер	4 длины рёбер	4+1 длины рёбер	6 длины рёбер

Другие известные примеры:

• Треугольные призматические соты .
• Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
• . Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид .
• .
• Простые изоэдричечкие мозаики .

Другие соты с двумя и более многогранниками

Иногда два и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит , заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата .

(с двумя типами ячеек)

Невыпуклые трёхмерные соты

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:

• невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников; они включают малые как в кубе Ёсимото ;
• мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

Гиперболические соты

В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами , имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много .

Двойственность сот в трёхмерном пространстве

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:

ячеек на вершины.

граней на рёбра.

Для правильных сот:

• Кубические соты самодвойственны.
• Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
• Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
• Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье Инчбальда .

Самодвойственные соты

Соты могут быть самодвойственными . Все n -мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3 ^{n −2} ,4} самодвойственны.

См. также

• Список правильных многомерных многогранников и соединений § Замощения евклидова трёхмерного пространства

Примечания

Литература

• H. S. M Coxeter . Chapter 8: Truncation // . — 3rd edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — С. –154. — ISBN 0-486-61480-8 .
• Williams, R. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling // . — New York: Dover Publications , 1979. — С. —199.
• K. Critchlow. Order in space. — New York: Thames & Hudson Inc., 1997. — ISBN 0-500-34033-1 .
• Branko Grünbaum. Uniform tilings of 3-space // Geombinatorics . — 1994. — Вып. 4(2) .
• P. Pearce. Structure in nature is a strategy for design. — Cambridge, Massachusetts, London: MIT press, 1978.
• Xiaoliang Qian, Daniel Strahs, Tamar Schlick. A new program for optimizing periodic boundary models of solvated biomolecules (PBCAID). // Journal of Computational Chemistry. — 2001. — Т. 22 , вып. 15 .
• O. Delgado-Friedrichs, M. O'Keeffe. // Acta Cryst. — 2005. — Вып. A61 .
• Linus Pauling. . — Cornell University Press, 1960. — ISBN 0-8014-0333-2 .
• G. Inchbald. The Archimedean Honeycomb duals // The Mathematical Gazette. — 1997. — Вып. 81 , July .

Ссылки

• , Guy Inchbald
• , Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80 , November 1996, p.p. 466—475.