Ортодро́мия, ортодро́ма (от др.-греч. «ὀρθός» — «прямой» и «δρόμος» — «бег», «путь») в геометрии — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения , частный случай геодезической линии .

В картографии и навигации ортодромия — название кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности Земли. В судо- и самолётовождении, где Земля принимается за шар , ортодромия представляет собой дугу большого круга . Через две точки на земной поверхности, расположенные не на противоположных концах одного диаметра Земли, можно провести только одну ортодромию.

Частными случаями ортодромии являются меридианы и единственная параллель — экватор . Ортодромия, в отличие от локсодромии , может пересекать меридианы под разными углами.

На картах

В большинстве картографических проекций ортодромии изображаются кривыми линиями (за исключением, быть может, меридианов и экватора). Это неудобно для прокладки кратчайших маршрутов. В гномонической проекции все ортодромии изображены прямыми линиями.

Ортодромия на картах в проекции Меркатора , если она не совпадает с меридианом или экватором, — это кривая, обращённая выпуклостью к ближайшему полюсу .

Расчёт ортодромии

Длина, угловая длина, начальный и конечный азимуты, широты промежуточных точек ортодромии рассчитываются по следующим формулам (выводятся с помощью соотношений сферической тригонометрии ) .

Угловая длина ортодромии: ${\displaystyle \delta =\arccos(\sin \varphi _{1}\cdot \sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \cos(\lambda _{2}-\lambda _{1})).}$

Длина ортодромии: ${\displaystyle D=l\cdot \delta .}$

Начальный азимут: ${\displaystyle \alpha _{1}=\operatorname {arcctg} \left({\frac {\cos \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}-{\frac {\sin \varphi _{1}}{\operatorname {tg} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right).}$

Конечный азимут: ${\displaystyle \alpha _{2}=\operatorname {arcctg} \left({\frac {\sin \varphi _{2}}{\operatorname {tg} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}-{\frac {\cos \varphi _{2}\operatorname {tg} \varphi _{1}}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right).}$

Широта промежуточной точки как функция долготы: ${\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg} \left({\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}\cdot \sin(\lambda _{2}-\lambda )}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}+{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{2}\cdot \sin(\lambda -\lambda _{1})}{\sin(\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right).}$

Обозначения:

δ — угловая длина ортодромии,

D — длина ортодромии,

${\displaystyle \varphi _{1}}$ и ${\displaystyle \lambda _{1}}$ — широта и долгота точки отбытия,

${\displaystyle \varphi _{2}}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}}$ — широта и долгота точки прибытия,

${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \lambda }$ — широта и долгота промежуточной точки на ортодромии,

l — длина дуги 1° меридиана (на Земле l =111,1 км). Формулы приведены без учёта полярного сжатия. В случае расчётов в радианах , а не в градусах, l заменяется на радиус Земли (который равен длине дуги в 1 радиан на поверхности Земли).

См. также

• Картография
• Морская навигация
• Воздушная навигация
• Локсодрома

Примечания

Ссылки