Группы Конвея — это три введённые Конвеем спорадические простые группы Co ₁ , и вместе со связанной с ними конечной группой Co ₀ .

Наибольшая из групп Конвея, Co ₀ , является группой автоморфизмов решётки Лича ${\displaystyle \Lambda }$ . Эта группа имеет порядок

8 315 553 613 086 720 000

Она не является простой группой. Простая группа Co ₁ порядка

4 157 776 806 543 360 000

определяется как факторгруппа группы Co ₀ по её центру , который состоит из скалярных матриц ±1.

Скалярное произведение на решётке Лича определяется как 1/8 суммы произведений соответствующих координат двух перемножаемых векторов. Это целое число. Квадратичная норма вектора равна скалярному произведению вектора на себя, всегда чётное целое число. Часто говорят о типе вектора решётки Лича, который равен половине нормы. Подгруппы часто называются согласно типам соответствующих фиксированных точек. Решётка не имеет векторов типа 1.

Группы (порядка 42 305 421 312 000 ) и (порядка 495 766 656 000 ) состоят из автоморфизмов ${\displaystyle \Lambda }$ , сохраняющих вектора типа 2 и вектора типа 3 соответственно. Так как умножение на скаляр −1 не сохраняет никакого ненулевого вектора, эти две группы изоморфны подгруппам группы Co ₁ .

История

Томас Томпсон рассказал, как примерно в 1964 году исследовал плотную упаковку сфер в евклидовых пространствах высоких размерностей. Одним из открытий Лича была решётчатая укладка в 24-мерном пространстве, основанная на том, что стало называться решёткой Лича ${\displaystyle \Lambda }$ . Он решил узнать, содержит ли группа симметрии решётки интересные простые группы, но почувствовал, что ему нужна помощь кого-либо, более осведомлённого в теории групп. Он долго искал такого человека, но математики были заняты своими собственными задачами. Джон Конвей согласился посмотреть на эту задачу. Джон Г. Томпсон заявил, что примет участие в работе, если Конвей найдёт порядок группы . Конвей полагал, что потратит на проблему месяцы или годы, но получил результат за несколько дней.

Витт утверждал, что он нашёл решётку Лича в 1940 году, и намекнул, что вычислил порядок её группы автоморфизмов Co ₀ .

Мономиальная подгруппа N группы Co ₀

Конвей начал свои исследования Co ₀ с подгруппы, которую он назвал N . Это (расширенного) двоичного кода Голея , представленного как набор диагональных матриц c 1 или −1 на диагонали, то есть его расширение с помощью (элементы которой представлены как матрицы перестановки ). N ≈ 2 ¹² :M ₂₄ .

Стандартное представление двоичного кода Голея, используемое в данной статье, упорядочивает 24 координаты так, что 6 последовательных блоков по 4 (тетрад) образуют .

Матрицы группы Co ₀ ортогональны . То есть, они оставляют скалярное произведение неизменным. Обратная матрица является её транспонированной . Co ₀ не содержит матриц с определителем −1.

Решётку Лича можно определить как Z - модуль , порождённый множеством ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ всех векторов типа 2, состоящих из

(4, 4, 0 ²² )

(2 ⁸ , 0 ¹⁶ )

(−3, 1 ²³ )

и их образов под действием N . ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ под действием N распадается на 3 орбиты размера 1104, 97152 и 98304. Тогда ${\displaystyle |\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13}$ . Конвей сильно подозревал, что Co ₀ транзитивна на ${\displaystyle \Lambda _{2}}$ , и, более того, он обнаружил новую матрицу, не и не целочисленную.

Пусть ${\displaystyle \eta }$ — матрица 4×4

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

Теперь пусть ${\displaystyle \zeta }$ — 6-блочная матрица с нечётным числом ${\displaystyle \eta }$ и ${\displaystyle -\eta }$ . ${\displaystyle \zeta }$ является симметричной и ортогональной матрицей, а значит, представляет собой инволюцию . Она переставляет вектора между различными орбитами группы N .

Чтобы вычислить ${\displaystyle |\mathrm {Co} _{0}|}$ , лучше всего рассмотреть ${\displaystyle \Lambda _{4}}$ , множество векторов типа 4. Любой вектор типа 4 является в точности одним из 48 векторов типа 4, сравнимых друг с другом по модулю ${\displaystyle 2\Lambda }$ , которые распадаются на 24 ортогональные пары ${\displaystyle \{v,-v\}}$ . Набор из 48 таких векторов называется каркасом ( англ. frame ). N имеет в качестве орбиты стандартный каркас из 48 векторов вида (±8, 0 ²³ ). Подгруппа, фиксирующая заданный каркас, сопряжена с N . Группа 2 ¹² , изоморфная коду Голея, действует как изменение знака векторов каркаса, в то время как M ₂₄ переставляет 24 пары каркаса. Co ₀ , как можно показать, транзитивна на ${\displaystyle \Lambda _{4}}$ . Конвей перемножил порядок ${\displaystyle 2^{12}|\mathrm {M} _{24}|}$ группы N и число каркасов, последнее равно отношению ${\displaystyle |\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13}$ . Это произведение является порядком любой подгруппы группы Co ₀ , которая строго содержит N . Следовательно, N является максимальной подгруппой группы Co ₀ и содержит силовские 2-подгруппы группы Co ₀ . N также является подгруппой Co ₀ всех матриц с целыми элементами.

Поскольку ${\displaystyle \Lambda }$ включает вектора вида (±8, 0 ²³ ) , Co ₀ состоит из рациональных матриц, в которых все знаменатели делят 8.

Наименьшее нетривиальное представление группы Co ₀ над любым полем является 24-мерным, возникающим из решётки Лича, и оно точно над полями с характеристикой, отличной от 2.

Инволюции в Co ₀

Любая инволюция в Co ₀ , как можно показать, сопряжена элементу в коде Голея. Co ₀ имеет 4 класса сопряжённости инволюций.

Перестановочная матрица вида 2 ¹² , как можно показать, сопряжена додекадам . Её централизатор имеет вид 2 ¹² :M ₁₂ и имеет сопряжения внутри мономиальной подгруппы. Любая матрица в этом сопряжённом классе имеет след 0.

Матрица перестановок вида 2 ⁸ 1 ⁸ , как можно показать, сопряжена октаде . Она имеет след 8. Она и противоположная ей (след −8) имеют общий централизатор вида ${\displaystyle (2^{1+8}\times 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)}$ , максимальная подгруппа в Co ₀ .

Группы подрешёток

Конвей и Томпсон обнаружили, что четыре недавно найденные спорадические простые группы, описанные в докладе на конференции , изоморфны подгруппам или факторгруппам подгрупп Co ₀ .

Конвей сам использовал нотацию для стабилизаторов точек и подпространств, ставя в начале префикс в виде точки. Исключениями были •0 и •1 , известные ныне как Co ₀ и Co ₁ . Для целого ${\displaystyle \mathbf {n} \geqslant 2}$ пусть ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}\mathbf {n} }$ означает стабилизатор точек типа n (см. выше) в решётке Лича.

Конвей затем ввёл названия для стабилизаторов плоскостей, определённых треугольниками, имеющими начало координат в качестве вершины. Пусть •hkl будет поточечным стабилизатором треугольника с рёбрами (разности вершин) типа h , k и l . В простейших случаях Co ₀ транзитивна на точках или треугольниках и группы стабилизаторов определены с точностью до сопряжённости.

Конвей отождествил •322 с McL (порядок 898 128 000 ), а •332 с HS (порядок 44 352 000 ). Обе были недавно обнаружены.

Ниже таблица некоторых групп подрешёток:

Название	Порядок	Структура	Пример вершин
•2	2 18 3 6 5 3 7 11 23	Co 2	(−3, 1 23 )
•3	2 10 3 7 5 3 7 11 23	Co 3	(5, 1 23 )
•4	2 18 3 2 5 7 11 23	2 11 :M 23	(8, 0 23 )
•222	2 15 3 6 5 7 11	PSU 6 (2) ≈ Fi 21	(4, −4, 0 22 ), (0, −4, 4, 0 21 )
•322	2 7 3 6 5 3 7 11	McL	(5, 1 23 ), (4, 4, 0 22 )
•332	2 9 3 2 5 3 7 11	HS	(5, 1 23 ), (4, −4, 0 22 )
•333	2 4 3 7 5 11	3 5 M 11	(5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 )
•422	2 17 3 2 5 7 11	2 10 :M 22	(8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 )
•432	2 7 3 2 5 7 11 23	M 23	(8, 0 23 ), (5, 1 23 )
•433	2 10 3 2 5 7	2 4 .A 8	(8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 )
•442	2 12 3 2 5 7	2 1+8 .A 7	(8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 )
•443	2 7 3 2 5 7	M 21 :2 ≈ PSL 3 (4):2	(8, 0 23 ), (5, −3, −3, 1 21 )

Две другие спорадические подгруппы

Две спорадические подгруппы можно определить как факторгруппы стабилизаторов структур на решётке Лича. Отождествление R ²⁴ с C ¹² и ${\displaystyle \Lambda }$ с

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},}$

результирующей группой автоморфизмов (то есть, группой автоморфизмов решётки Лича, сохраняющих ), когда делится на шестиэлементную группу комплексных скалярных матриц, даёт Suz (порядка 448,345,497,600 ). Эту группу обнаружил в 1968 году Митио Сузуки.

Похожее построение даёт группу Янко J ₂ (порядок 604,800 ) как факторгруппу кватернионных автоморфизмов ${\displaystyle \Lambda }$ по группе скаляров ±1.

Семь простых групп, описанных выше, включают то, что Роберт Грисс назвал вторым поколением счастливого семейства , которое состоит из 20 спорадических простых групп, найденных в монстре . Некоторые из семи групп содержат по меньшей мере некоторые из пяти групп Матьё , которые составляют первое поколение .

Цепочка Сузуки произведения групп

Co ₀ имеет 4 класса смежности элементов порядка 3. В M ₂₄ элемент вида 3 ⁸ образует группу, нормальную в копии S ₃ , которая коммутирует с простой подгруппой порядка 168. Прямое произведение ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}}$ в M ₂₄ переставляет октады и переставляет 14 додекадных диагональных матриц в мономиальной подгруппе. В Co ₀ этот мономиальный нормализатор ${\displaystyle 2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3}}$ расширен до максимальной подгруппы вида ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3}}$ , где 2.A ₉ является двойным накрытием знакопеременной группы A ₉ .

Джон Томпсон указал на то, что было бы плодотворно изучение нормализаторов малых групп вида 2.A _n . Некоторые максимальные подгруппы Co ₀ найдены таким способом. Более того, две спорадические группы появляются в результирующей цепочке.

Существует подгруппа ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4}}$ , только одна из её цепочек не максимальна в Co ₀ . Далее, существует подгруппа ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\colon {2}}$ . Следующей идёт ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2}$ . Унитарной группой ${\displaystyle \mathrm {SU} _{3}(3)}$ (порядок 6048 ) связана с группой автоморфизмов графа с 36 вершинами, предвосхищая следующую подгруппу. Эта подгруппа — ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2}$ , в которой появляется Группа Янко J2 . Упомянутый граф расширяется до графа Холла — Янко со 100 вершинами. Следующей идёт ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2}$ , группа G ₂ (4), которая является исключительной группой лиева типа .

Цепочку завершает 6.Suz:2 (Suz= ), которая, как упомянуто выше, сохраняет комплексное представление решётки Лича.

Обобщённый Чудовищный Вздор

Конвей и Нортон предположили в статье 1979 года, что возможен аналог чудовищного вздора и для других групп. Лариса Куин и другие последовательно нашли, что можно построить расширения многих главных модулей (в английской литературе используется заимствованный из немецкого языка термин Hauptmodul, буквально — главный модуль) из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея соответствующие ряды Маккея — Томпсона — это ${\displaystyle T_{2B}(\tau )}$ ={1, 0, 276, −2048 , 11 202 , −49 152 , …} ( ) и ${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$ ={1, 0, 276, 2048 , 11 202 , 49 152 , …} ( ), где постоянный член a(0)=24 ,

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

и ${\displaystyle \eta (\tau )}$ является .

Примечания

Литература

• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Издание второе. — Ижевск: МЦНМО, ВКМ НМУ, 1999. — ISBN 5-89806-028-4 .
• John Horton Conway . A perfect group of order 8,315,553,613,086,720,000 and the sporadic simple groups // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . — 1968. — Т. 61 , вып. 2 . — С. 398–400 . — doi : . — PMC .
• / Brauer R., Chih-han Sah. — W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
• John Horton Conway . A group of order 8,315,553,613,086,720,000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1969. — Т. 1 . — С. 79–88 . — ISSN . — doi : .
• John Horton Conway . Three lectures on exceptional groups // / Powell M. B., Higman G.. — Boston, MA: Academic Press , 1971. — С. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, September 1969.). — ISBN 978-0-12-563850-0 . Перепечатано в , 267–298) harvtxt error: якоря не существует: CITEREFConway,_Sloane1999 ( помощь )
• John Horton Conway , Neil Sloane . . — 3rd. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. — Т. 290. — (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-0-387-98585-5 .
• Thomas M. Thompson. . — Mathematical Association of America , 1983. — Т. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0-88385-023-7 .
• John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis R. T. , Robert A. Wilson. . — Oxford University Press , 1985. — ISBN 978-0-19-853199-9 .
• Robert L. Griess Jr. Twelve sporadic groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. — (Springer Monographs in Mathematics). — ISBN 978-3-540-62778-4 .
• version 2
• ( от 27 марта 2008 на Wayback Machine ) version 3
• Robert A. Wilson. The maximal subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1983. — Т. 85 , вып. 1 . — С. 144–165 . — ISSN . — doi : .
• Robert A. Wilson. On the 3-local subgroups of Conway's group Co₁ // Journal of Algebra. — 1988. — Т. 113 , вып. 1 . — С. 261–262 . — ISSN . — doi : .
• Robert A. Wilson. The finite simple groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. — (Graduate Texts in Mathematics 251). — ISBN 978-1-84800-987-5 . — doi : .
• Ernst Witt. Collected papers. Gesammelte Abhandlungen. — Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. — ISBN 978-3-540-57061-5 .
• R. T. Curtis, B. T. Fairburn. Symmetric Representation of the elements of the Conway Group •0 // Journal of Symbolic Computation. — 2009. — Вып. 44 . — С. 1044—1067 .