Середины сторон
равностороннего треугольника
соединяются
отрезками
. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность
срединного треугольника
. Получается множество
, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество
, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность
, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.
Построение на C# в консоли с помощью треугольника Паскаля
:
usingSystem;namespaceSerpinski{classProgram{staticvoidMain(string[]args){Console.Write("Power of 2: ");intdepth=Convert.ToInt32(Math.Pow(2d,Convert.ToDouble(Console.ReadLine())));int[][]pascaltriangle=newint[depth][];for(inti=0;i<pascaltriangle.Length;i++){pascaltriangle[i]=newint[depth];for(intj=0;j<pascaltriangle[i].Length;j++)pascaltriangle[i][j]=0;pascaltriangle[i][0]=1;pascaltriangle[i][i]=1;}for(inti=1;i<pascaltriangle.Length;i++)for(intj=1;j<pascaltriangle[i].Length;j++)pascaltriangle[i][j]=(pascaltriangle[i-1][j-1]+pascaltriangle[i-1][j])%2;for(inti=0;i<pascaltriangle.Length;i++){for(intj=0;j<pascaltriangle[i].Length;j++)Console.Write(pascaltriangle[i][j]==1?"#":" ");Console.WriteLine();}Console.Write("Press any key to continue...");Console.ReadKey();}}}
Свойства
Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.
Важным свойством треугольника Серпинского является его
самоподобие
— ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть нецелую)
Хаусдорфову размерность
. В частности,
Если в
треугольнике Паскаля
все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают при эволюции многих
конечных автоматов
,
игре
Жизнь
.
Изображения треугольника Серпинского в 1919 году стали мотивом нескольких графических произведений
Георгия Нарбута
, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (1919—1920 гг.).
W. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. -
от 6 августа 2020 на
Wayback Machine
Слюсар В. И. Фрактальные антенны. // Радиоаматор. — 2002. — № 9. — С. 54 −56., Конструктор. — 2002. — № 8. — С. 6 — 8.
от 19 февраля 2018 на
Wayback Machine
Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
↑
The grammar of ornament. Day and Son, London. — 1856.
Conversano Elisa, Tedeschini Lalli Laura. Sierpinsky triangles in stone, on medieval floors in Rome.// Aplimat — Journal of Applied Mathematics. Volume 4 (2011), Number 4. — P. 113—122. —
Paola Brunori, Paola Magrone, and Laura Tedeschini Lalli. Imperial Porphiry and Golden Leaf: Sierpinski Triangle in a Medieval Roman Cloister.//ICGG 2018 — Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. — Pp. 595—609. -
Литература
Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.