Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии . При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных ( неопределяемых ) понятий , их свойства и связь с другими понятиями (например, точки и плоскости ) определяются аксиомами геометрии .

Прямая, наряду с окружностью , относится к числу древнейших геометрических фигур. Античные геометры считали эти две кривые «совершенными» и поэтому признавали только построения с помощью циркуля и линейки . Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «равно лежит на всех своих точках» .

Аналоги прямых могут быть определены также в некоторых типах неевклидовых пространств. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то отрезок прямой можно определить как самую короткую кривую, соединяющую эти точки. Например, в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии , которые являются кратчайшими; на сфере кратчайшими являются дуги больших кругов .

Свойства прямой в евклидовой геометрии

Участки прямой, ограниченные двумя её точками, называются отрезками .

• Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.
• Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
• Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке , или являются параллельными (следует из предыдущего).
• В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух несовпадающих прямых:
  • прямые пересекаются;
  • прямые параллельны ;
  • прямые скрещиваются .
• Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени ( линейное уравнение ).

Уравнения прямой на плоскости

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах :

${\displaystyle Ax+By+C=0,}$

где ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C}$ — произвольные постоянные, причём постоянные ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ не равны нулю одновременно.

При ${\displaystyle A=0}$ прямая параллельна оси ${\displaystyle Ox}$ , при ${\displaystyle B=0}$ — параллельна оси ${\displaystyle Oy}$ .

Вектор с координатами ${\displaystyle (A,B)}$ называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При ${\displaystyle C=0}$ прямая проходит через начало координат .

Также уравнение можно переписать в виде

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.}$

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$ и образующей угол ${\displaystyle \varphi }$ с положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$ :

${\displaystyle y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .}$

Коэффициент ${\displaystyle k}$ называется угловым коэффициентом прямой.

В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси ${\displaystyle Oy.}$ (Иногда в этом случае формально говорят, что угловой коэффициент «обращается в бесконечность».)

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой линии, пересекающей ось ${\displaystyle Ox}$ в точке ${\displaystyle (a,\;0)}$ и ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle (0,\;b)}$ :

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).}$

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,}$

где ${\displaystyle p}$ — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а ${\displaystyle \theta }$ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси ${\displaystyle Ox}$ и направлением этого перпендикуляра. Если ${\displaystyle p=0}$ , то прямая проходит через начало координат, а угол ${\displaystyle \theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$ задаёт угол наклона прямой.

Если прямая задана общим уравнением ${\displaystyle Ax+By+C=0,}$ то отрезки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b,}$ отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент ${\displaystyle k,}$ расстояние прямой от начала координат ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin \theta }$ выражаются через коэффициенты ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ следующим образом:

${\displaystyle a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},}$

${\displaystyle p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.}$

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие ${\displaystyle p>0.}$ В этом случае ${\displaystyle \cos \theta }$ и ${\displaystyle \sin \theta }$ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если ${\displaystyle C=0,}$ то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки на вещественной плоскости

Если заданы две несовпадающие точки на вещественной плоскости с координатами ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ и ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$ , то прямая, проходящая через них, задаётся уравнением

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

или

${\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

или в общем виде

${\displaystyle \left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.}$

Уравнение прямой, проходящей через две точки на комплексной плоскости

Если заданы две несовпадающие точки на комплексной плоскости ${\displaystyle z_{1}}$ и ${\displaystyle z_{2}}$ , то прямая, проходящая через них, задаётся следующим уравнением:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}z&{\bar {z}}&1\\z_{1}&{\bar {z}}_{1}&1\\z_{2}&{\bar {z}}_{2}&1\end{vmatrix}}=0}$

или в одну строку :

${\displaystyle ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})z+(z_{2}-z_{1}){\bar {z}}+(z_{1}{\bar {z}}_{2}-z_{2}{\bar {z}}_{1})=0.}$

Упростим запись этого уравнения :

${\displaystyle {\bar {p}}z+p{\bar {z}}-2=0}$ (или ${\displaystyle \operatorname {Re} ({\bar {p}}z)=1)}$ ,

положив

${\displaystyle p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}},}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=2{\frac {{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}}{z_{1}{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}z_{2}}}.}$

Следовательно, прямая линия полностью определяется выбором комплексного числа ${\displaystyle p}$ . Как точка на комплексной плоскости, так и прямая определяются одним вектором или двумя координатами. Комплексное числе ${\displaystyle p}$ называется вектором прямой , а его компоненты называются координатами прямой .

Определим геометрическую природу вектора прямой ${\displaystyle p}$ , определяющего просто точку ${\displaystyle P}$ на комплексной плоскости, рассмотрев два его свойства :

• из того, что в определении ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p=2{\frac {z_{2}-z_{1}}{{\bar {z}}_{1}z_{2}-z_{1}{\bar {z}}_{2}}}}$

знаменатель есть чисто мнимое комплексное число, следует, что вектор ${\displaystyle p}$ нормален к вектору ${\displaystyle z_{2}-z_{1}}$ , то есть нормален к прямой ${\displaystyle z_{1}z_{2};}$

• абсолютная величина знаменателя в определении ${\displaystyle p}$ равна удвоенной площади треугольника ${\displaystyle \triangle Oz_{1}z_{2}}$ с основанием ${\displaystyle z_{1}z_{2}}$ , следовательно, абсолютная величина ${\displaystyle p}$ обратно пропорционален длине перпендикуляра, опущенного из начала координат ${\displaystyle O}$ к прямой ${\displaystyle z_{1}z_{2}.}$ Другими словами, точка ${\displaystyle P}$ есть инверсия основания этого перпендикуляра.

Векторное параметрическое уравнение прямой

Векторное параметрическое уравнение прямой задается вектором ${\displaystyle {\vec {r}}_{0},}$ конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой ${\displaystyle {\vec {u}}.}$ Параметр ${\displaystyle t}$ пробегает все действительные значения.

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.}$

Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}}$

где ${\displaystyle t}$ — произвольный параметр, ${\displaystyle a_{x},\;a_{y}}$ — координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ направляющего вектора прямой. При этом

${\displaystyle k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},}$

${\displaystyle p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.}$

Смысл параметра ${\displaystyle t}$ аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}}$

где ${\displaystyle a_{x},a_{y}}$ — координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ направляющего вектора прямой, ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ координаты точки, принадлежащей прямой.

Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \varphi }$ :

${\displaystyle \rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0}$

или

${\displaystyle \rho \cos(\varphi -\theta )=p.}$

Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

${\displaystyle \xi x+\eta y=1.}$

Числа ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$ называются её тангенциальными , линейными или плюккеровыми координатами .

Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

где ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — радиус-вектор некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ — ненулевой вектор , коллинеарный этой прямой (называемый её направляющим вектором), ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрические уравнения прямой в пространстве:

${\displaystyle x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),}$

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — координаты вектора , коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

${\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},}$

где ${\displaystyle (x_{0},\;y_{0},\;z_{0})}$ — координаты некоторой фиксированной точки ${\displaystyle M_{0},}$ лежащей на прямой; ${\displaystyle (\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )}$ — координаты вектора , коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой ^{[ уточнить ]} в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных плоскостей , заданных соответственно общими уравнениями :

${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0}$ и ${\displaystyle ({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,}$

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}}$

Векторное уравнение прямой в пространстве ^:196-199 :

Уравнение прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой ${\displaystyle {\vec {r}}}$ на фиксированный направляющий вектор прямой ${\displaystyle {\vec {a}}}$ :

${\displaystyle [{\vec {r}},{\vec {a}}]={\vec {M}},}$

где фиксированный вектор ${\displaystyle {\vec {M}}}$ , ортогональный вектору ${\displaystyle {\vec {a}}}$ , можно найти, подставляя в это уравнение радиус-вектор какой-нибудь одной известной точки прямой.

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ , ${\displaystyle (x_{2},\;y_{2})}$ и ${\displaystyle (x_{3},\;y_{3})}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Отклонение точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1})}$ от прямой ${\displaystyle Ax+By+C=0}$ может быть найдено по формуле

${\displaystyle \delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},}$

где знак перед радикалом противоположен знаку ${\displaystyle C.}$ Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой ; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки ${\displaystyle (x_{1},\;y_{1},\;z_{1})}$ до прямой, заданной параметрическим уравнением

${\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}}$

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент ${\displaystyle t}$ этой точки может быть найден по формуле

${\displaystyle t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0})}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}.}$

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$

или

${\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}}$

пересекаются в точке

${\displaystyle x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

Угол ${\displaystyle \gamma _{12}}$ между пересекающимися прямыми определяется формулой

${\displaystyle \mathrm {tg} \,\gamma _{12}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}$

При этом под ${\displaystyle \gamma _{12}}$ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle B_{1}}$ , ${\displaystyle C_{1}}$ , ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle b_{1}}$ ) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны , если ${\displaystyle A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0}$ или ${\displaystyle k_{1}=k_{2}}$ , и перпендикулярны , если ${\displaystyle A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0}$ или ${\displaystyle k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}}$ .

Любую прямую, параллельную прямой с уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}$ можно выразить уравнением ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C=0.}$ При этом расстояние между этими прямыми будет равно

${\displaystyle \delta ={\frac {C_{1}-C}{\pm {\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}};}$

Если же уравнение прямой задано как ${\displaystyle y_{1}=kx_{1}+b_{1}}$ , а уравнение прямой параллельной ей ${\displaystyle y=kx+b}$ , то расстояние можно вычислить, как

${\displaystyle \delta ={\frac {|b_{1}-b|}{\sqrt {1+k^{2}}}}.}$

Если знак перед радикалом противоположен ${\displaystyle C_{1},}$ то ${\displaystyle \delta }$ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0}$

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Если ${\displaystyle A_{2}=-B_{1}}$ и ${\displaystyle B_{2}=A_{1}}$ , то прямые ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0}$ и ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0}$ перпендикулярны .

Некоторые специальные типы прямых

• Прямая Александрова
• Прямая Симсона
• Прямая Эйлера
• Числовая прямая

Примечания

Литература

• Маркушевич А. И. , . — Выпуск 4. — Гостехиздат , 1952 г. — 32 стр.
• Прямая // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1984. — Т. 4.
• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry , New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie, Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry , New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2
• The Advanced Geometry of Plane Curves and Their Applications. New York: Dover Publications, Inc., 1963. 299 p. ISBN 10: 0486610780. ISBN 13: 9780486610788.

Ссылки