Interested Article - Овал Кассини

Овалы Кассини ( a = 0,6 c , 0,8 c , c , 1,2 c , 1,4 c , 1,6 c )

Овал Кассини — кривая , являющаяся геометрическим местом точек , произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа $a$ . Является частным случаем торического сечения и кривой Персея .

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии, равном $2a$ , является лемниската Бернулли .

В новое время кривая была введена (переоткрыта) астрономом Джованни Кассини . Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли , чем эллипс . Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы ).

Вариации (другие случаи)

Кривая постоянной суммы расстояний до двух заданных точек — эллипс , постоянного отношения — окружность Аполлония , постоянной разности — гипербола .

Уравнения

Расстояние между фокусами $2c$ .

В прямоугольных координатах :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Вывод

Фокусы —

F_{1}(-c;0)

и

F_{2}(c;0)

. Возьмём произвольную точку

M(x;y)

, найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к

a^{2}

:

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Возводим в квадрат обе части равенства:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}

Раскрываем скобки в левой части:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Явное уравнение в прямоугольных координатах:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Вывод

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

\textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-2c^{2}x^{2}+2c^{2}y^{2}=a^{4}-c^{4}

Приводим к виду

\textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}-a^{4}+c^{4}=0

Это квадратное уравнение относительно $y^{2}$ . Решив его, получим

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю.

В полярной системе координат:

\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}

Вывод

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Используя формулы перехода к полярной системе координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ получим:

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c^{4}

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ :

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

Используем ещё одно тождество: $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ :

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Особенности формы

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: $c$ — половина расстояния между фокусами и $a$ — корень квадратный из произведения расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения $\textstyle {\frac {c}{a}}$ :

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ , то есть $\textstyle a=0$ при $\textstyle c\neq 0$ .

Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При

c\to \infty

форма кривой стремится к двум точкам.

$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ , то есть $\textstyle 0<a<c$

Кривая распадается на два отдельных овала , каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=1$ , то есть $\textstyle a=c$

Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли .

$\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , то есть $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью

OY

стремится к нулю, когда

a

стремится к

c

и к бесконечности, когда

a

стремится к

c{\sqrt {2}}

.

$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , то есть $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

Кривая становится овалом , то есть выпуклой замкнутой кривой .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=0$ , то есть $\textstyle c=0$ при $\textstyle a\neq 0$

По мере увеличения

a

(то есть стремления отношения

\textstyle {\frac {c}{a}}

к нулю) кривая стремится к окружности радиуса

a

. Если

c=0

, то отношение

\textstyle {\frac {c}{a}}

достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
При $0<a<c{\sqrt {2}}$ имеет два абсолютных максимума и два минимума:

{\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {4c^{4}-a^{4}}}{2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2}}{2c}}\end{cases}}

Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса

c

с центром в середине отрезка между фокусами.

При $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$ кривая имеет четыре точки перегиба . Их полярные координаты:

{\begin{cases}\rho ={\sqrt[{4}]{\frac {a^{4}-c^{4}}{3}}}\\\cos 2\varphi =-{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)}}\end{cases}}

Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами

\left(0;\pm c\right)

.

Радиус кривизны для представления в полярных координатах :

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi }}}={\frac {2a^{2}\rho ^{3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}

Применение

При двухпозиционной радиолокации областью обнаружения цели является фигура, ограниченная овалом Кассини, если принять в качестве одного его фокуса позицию источника излучения, а другого — позицию приёмника. Аналогично, в астрономии при наблюдении, например, астероидов , светящих отражённым светом Солнца, условия их обнаружения при заданной чувствительности телескопа описываются формулой овала Кассини. В этом случае границей обнаружимости будет поверхность, образованная вращением овала вокруг оси, соединяющей Солнце и наблюдателя.

Овалы Кассини на торе (тороиде)

Овалы Кассини (синие) как плоские сечения тора (на правой стороне от оси тора)

Овалы Кассини появляются как плоские сечения тора , но только тогда, когда секущая плоскость параллельна оси тора, а её расстояние до оси равно радиусу образующей окружности (см. рисунок).

Обобщения

Овал Кассини является частным случаем лемнискаты .

Овал Кассини — частный случай кривой Персея .

В частности, уравнение кривой Персея в декартовой системе координат

(x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c

.

при $a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4}$ переходит в уравнение овала Кассини

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

См. также

Литература

Математическая энциклопедия (в 5 томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д — Коо, с. 759.
Маркушевич А. И. , от 26 августа 2017 на Wayback Machine , выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 с.