Interested Article - Суперэллипс
- 2021-02-01
- 1
Суперэллипс (кривая Ламе ) — геометрическая кривая, задаваемая в декартовых координатах уравнением
где n , a и b — положительные числа.
Формула задаёт замкнутую кривую, ограниченную прямоугольником − a ≤ x ≤ + a и − b ≤ y ≤ + b . Параметры a и b называются полуосями или полудиаметрами кривой.
Когда n заключено между 0 и 1, суперэллипс выглядит как четырёхконечная звезда с вогнутыми сторонами. В частности, при n = 1/2 стороны звезды являются параболами .
Когда n = 1, кривая представляет собой ромб с вершинами (± a , 0) и (0, ± b ). При n в промежутке от 1 до 2 кривая выглядит как ромб с выпуклыми сторонами.
При n = 2 кривая превращается в эллипс (в частности, при a = b — в окружность). При n > 2, кривая выглядит как прямоугольник со скруглёнными углами. В точках (± a , 0) and (0, ± b ) кривизна кривой равна нулю.
При n < 2 кривая иногда называется «гипоэллипсом», а при n > 2 — «гиперэллипсом».
Экстремальные точки суперэллипса равны (± a , 0) и (0, ± b ), а координаты «углов» (то есть точек пересечения с диагоналями описанного прямоугольника) — (± sa, ±sb ), где ).
Алгебраические свойства
Когда n представляет собой ненулевое рациональное число p / q , суперэллипс представляет собой алгебраическую кривую . Для положительных n порядок равен pq , для отрицательных — 2 pq . В частности, когда a = b = 1 и n чётное целое, суперэллипс представляет собой кривую Ферма степени n . В этом случае она не является сингулярной, хотя в общем случае .
Например, если x 4/3 + y 4/3 = 1, то кривая является алгебраической кривой степени 12 третьего рода, задаваемая неявным уравнением
или параметрическим уравнением
или
Площадь суперэллипса выражается формулой
Обобщения
Суперэллипс можно обобщить в виде:
или
(здесь — параметр, который не следует интерпретировать как угол).
История
Суперэллипс в виде уравнения в декартовых координатах как обобщение обычного эллипса впервые предложил Габриель Ламе (1795—1870).
Иногда «изобретение» суперэллипса ошибочно приписывают датскому поэту и учёному Питу Хейну (1905—1996). В 1959 году архитектурное управление Стокгольма объявила конкурс на проектирование круговой развязки вокруг площади Сергельсторг . Пит Хейн стал победителем конкурса, предложив транспортное кольцо в виде суперэллипса с n = 2,5 и a / b = 6/5 . Реконструкция площади была завершена в 1967 году. Хейн использовал суперэллипс в других дизайнерских разработках — кроватях, тарелках, столах . Вращая суперэллипс вокруг длинной оси, он получил « суперъяйцо », которое стало популярной игрушкой, поскольку в отличие от обычного яйца могло стоять на плоской поверхности.
В 1968 году, когда делегации на переговорах в Париже по вьетнамской войне не могли прийти к согласию о форме стола, был предложен стол в виде суперэллипса . Суперэллиптическую форму имеет стадион «Ацтека» в Мехико , главный стадион Олимпийских игр 1968 года.
в 1973 году разработал картографическую проекцию , известную как гиперэллиптическая проекция Тоблера , в которой меридианы представляют собой суперэллипсы .
Шрифт Melior, созданный Германом Цапфом в 1952 году имеет суперэллиптические буквы «o». Считается, что Цапф выбрал форму буквы интуитивно, не имея понятия о математическом содержании этой формы, и только позже Пит Хейн отметил сходство элементов некоторых букв шрифта с суперэллипсами. 30 лет спустя Дональд Кнут встроил в семейство своих шрифтов Computer Modern возможность выбора между настоящими эллипсами и суперэллипсами (обе формы апроксимировались кубическими сплайнами ).
На логотипе футбольной команды « Питтсбург Стилерз » изображены три четырёхугольных звезды, которые представляют собой суперэллипсы с n = 0,5.
В мобильной операционной системе iOS , начиная с версии 7, суперэллипсы используются для формирования внешнего контура иконок (вместо квадратов со скруглёнными углами) и группировки иконок (вместо прямоугольников со спрямлёнными углами). В iOS используются параметры a = b = 60 и n = 5.
См. также
-
Астроида
— суперэллипс с
n
= 2/3 и
a
=
b
,
гипоциклоида
с четырьмя углами.
- Дельтоида — трёхугольная гипоциклоида .
-
— суперэллипс
n
= 4 и
a
=
b
, выглядящий как «четырёхугольное колесо».
- Треугольник Рёло — «трёхугольное колесо».
- Суперформула — обобщение суперэллипса.
- Суперквадрики — трёхмерные аналоги суперэллипсов.
Примечания
- Donald Knuth: The METAFONTbook , p. 126
- ↑ Gardner, Martin (1977), "Piet Hein's Superellipse", Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American , New York: Vintage Press, pp. 240—254, ISBN 978-0-394-72349-5
- от 10 марта 2005 на Wayback Machine , in The Guide to Life, The Universe and Everything by BBC (27th June 2003)
- Tobler, Waldo (1973), "The hyperelliptical and other new pseudocylindrical equal area map projections", Journal of Geophysical Research , 78 (11): 1753—1759, Bibcode : , doi : .
- Updated app icons // Kyle Begeman. . Packt Publishing Ltd, 2014.
Ссылки
- Barr, Alan H. (1983), Geometric Modeling and Fluid Dynamic Analysis of Swimming Spermatozoa , Rensselaer Polytechnic Institute (Ph.D. dissertation using superellipsoids)
- Barr, Alan H. (1992), "Rigid Physically Based Superquadrics", in Kirk, David (ed.), Graphics Gems III , Academic Press, pp. 137–159 ( : 472–477), ISBN 978-0-12-409672-1
- Gielis, Johan (2003), Inventing the Circle: The Geometry of Nature , Antwerp: Geniaal Press, ISBN 978-90-807756-1-9
- Sokolov, D. D. (2001), "Lamé curve",
- and от 6 декабря 2007 на Wayback Machine « ».
- 2021-02-01
- 1