Interested Article - Открытые математические проблемы

Откры́тые (нерешённые) математи́ческие пробле́мы — задачи, которые рассматривались математиками , но до сих пор не решены. Часто имеют форму гипотез , которые предположительно верны, но нуждаются в доказательстве .

В научном мире популярна практика составления известными учёными или организациями списков открытых проблем, актуальных на текущий момент. В частности, известными списками математических проблем являются:

Со временем опубликованные проблемы из такого списка могут быть решены и, таким образом, потерять статус открытых. Например, большая часть проблем Гильберта, представленных им в 1900 году, на данный момент так или иначе решены.

Теория чисел

Геометрия

  • 12 нерешённых задач из о построении треугольника по трём отмеченным особым точкам .
  • В задаче о перемещении дивана не доказана максимальность наилучшей оценки снизу ( ).
  • На любой ли замкнутой кривой Жордана на плоскости можно найти 4 точки, являющиеся вершинами некоторого квадрата?
  • Существует ли такая константа , что любое множество точек на плоскости, имеющее площадь , обязательно содержит вершины хотя бы одного треугольника площадью 1?
  • Существует ли плотное множество точек на плоскости, расстояние между каждыми двумя точками которого рационально?
  • Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?
  • Найдётся ли на плоскости точка, расстояние от которой до каждой из 4 вершин единичного квадрата рационально?
  • . Существует ли 9 кругов, таких, что каждые два пересекаются, и центр каждого круга лежит вне остальных кругов? (Время выполнения проверочного алгоритма — слишком большое).
  • У любого ли выпуклого многогранника существует развёртка без самопересечений?
  • Даны положительные действительные числа . Какой наибольший и наименьший объём может иметь многогранник, площади граней которого равны этим числам? [ источник не указан 2213 дней ]
  • Во сколько раз объём невыпуклого многогранника может превосходить объём выпуклого многогранника, составленного из тех же граней?
  • При каком минимальном любое выпуклое тело единичного объёма можно поместить внутри какой-либо треугольной пирамиды объёма
  • Чему равно хроматическое число -мерного евклидового пространства? Эта задача не решена даже для плоскости. Другими словами, неизвестно, какое минимальное количество цветов нужно, чтобы ими можно было раскрасить плоскость так, чтобы никакие две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, не были выкрашены в один и тот же цвет ( Проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера ).
  • Задача Томсона . Как разместить одинаковых заряженных точек на сфере, чтобы потенциальная энергия системы (то есть сумма попарных обратных расстояний между точками) была минимальна (задача строго решена только для ) . Сколько состояний равновесия (локальных экстремумов) существует для системы из точек?
  • Как разместить точек на сфере, чтобы наименьшее из попарных расстояний между ними было максимальным?
  • Для каждой пары натуральных чисел найти такое наименьшее действительное число , что любое множество единичного диаметра в -мерном евклидовом пространстве можно разбить на подмножеств диаметром не больше . Задача решена только в нескольких частных случаях .
  • Чему равна площадь множества Мандельброта , и где на оси абсцисс расположен его центр масс? Существует оценка 1,506 591 77 ± 0,000 000 08 .
  • Задача со счастливым концом . При каком минимальном среди любых точек на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, найдутся вершины некоторого выпуклого -угольника, и верно ли, что ? Решение известно только для . Результат для (который оказался равен 17) получен в 2006 году с помощью компьютерного анализа.
  • Какое наименьшее количество плиток может содержать множество плиток Вана , которым можно замостить плоскость только непериодически? Наименьший известный результат — 11 .
  • В любой ли многоугольной комнате с зеркальными стенами существует точка, при размещении в которой источника света вся комната окажется освещённой ?
  • Можно ли разместить 8 точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежали на одной прямой, никакие 4 не лежали на одной окружности и расстояние между любыми 2 точками было целым числом? Решение для 7 точек было найдено в 2007 году .
  • Каков наибольший возможный объём выпуклой оболочки пространственной кривой длины 1? [ источник не указан 2213 дней ]
  • . Какое трёхмерное тело постоянной ширины имеет наименьший объём?
  • Cуществует ли для каждого многоугольника и такой многоугольник, все вершины которого расположены на расстоянии, меньшем чем от соответствующих вершин начального многоугольника и все стороны и диагонали которого имеют рациональную длину?

Задачи упаковки

  • Какое наибольшее количество непересекающихся окружностей единичного радиуса можно разместить на сфере радиуса ?
  • Чему равна сторона наименьшего квадрата, в который можно упаковать 2 единичных круга, один из которых разрешается разрезать по хорде на 2 сегмента?
  • Какова наименее плотная жёсткая упаковка одинаковых кругов на плоскости?

Многомерные пространства

  • Чему равно контактное число в евклидовых пространствах с размерностью ? Эта задача решена лишь для (240) и (196 560) .
  • Задача плотнейшей упаковки шаров в -мерном евклидовом пространстве для . Для трёхмерного пространства эта задача была решена в 1998 году: было доказано, что гипотеза Кеплера справедлива. Однако, существующее доказательство чрезвычайно велико и сложно для проверки . Доказано также, что для и решётки кроме контактного числа реализуют также и плотнейшую упаковку шаров.
  • Гипотеза Борсука . Возможно ли произвольное тело конечного единичного диаметра в n-мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем часть так, что диаметр каждой части будет меньше 1? Опровергнута для пространств размерности больше 63, доказана для пространств размерности меньше 4, для 4 ≤ n ≤ 63 проблема не решена.

Механика

  • Для каждого ли движения четырёх точек в пространстве можно выбрать такую (возможно, неинерциальную) систему отсчёта, чтобы в ней траектории всех четырёх точек оказались плоскими выпуклыми кривыми?
  • Верно ли, что при достаточно большом количестве движущихся точек с зацепленными траекториями (траектории называются зацепленными, если не существует гомеоморфизма пространства, при котором они попадут внутрь непересекающихся выпуклых множеств) в любой системе отсчёта траектории хотя бы двух точек окажутся зацепленными?
  • Двенадцать нерешённых геометрических вопросов, связанных с задачами механики помещены в книге .

Алгебра

  • Обратная теорема теории Галуа . Для любой конечной группы существует поле алгебраических чисел такое, что является расширением поля рациональных чисел и изоморфна . [ источник не указан 4075 дней ]
  • Любая конечно заданная группа , каждый элемент которой имеет конечный порядок, — конечна. Для конечнопорождённой группы (более слабое условие) это неверно .
  • Существует ли простая группа , которая не является трансфинитно сверхпростой ?
  • Является ли кольцо периодов полем ?
  • Проблема О. Ю. Шмидта Существуют ли не квазициклические группы , все собственные подгруппы (подгруппы, отличные от единичной и всей группы) которых конечны?
  • Проблема Л. С. Понтрягина Пусть — эффективная транзитивная бикомпактная группа преобразований пространства , гомеоморфного — мерной сфере. Существует ли такое гомеоморфное отображение пространства на единичную сферу евклидова — мерного пространства, при котором группа переходит в некоторую группу движений сферы ? .
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия группоидов , колец и решёток, достижимых на классах всех группоидов, всех колец или решёток? .
  • Алгебраические системы Существуют ли и каким условиям удовлетворяют в случае существования нетривиальные многообразия и квазимногообразия полугрупп c несколькими выделенными элементами, колец и решёток, достижимых на классе всех таких полугрупп .
  • Существуют ли во множестве групп операции, отличные от операций прямого и свободного умножения и обладающие их основными свойствами?
  • Будет ли множество всех неизоморфных абелевых групп данной мощности иметь мощность ?
  • Проблема А. И. Мальцева Существует ли такая счётная группа, что всякая счётная группа изоморфна одной из её подгрупп?
  • Проблема отыскания всех гиперкомплексных систем с делением не решена до конца .
  • Несколько десятков нерешённых алгебраических задач есть в книге .
  • Отсутствует полное описание множества общезначимых формул на алгебраических системах. Неизвестно, замкнуто ли множество относительно дополнения в множестве
  • Формулировки нерешенных проблем теории бесконечных абелевых групп приведены в книге

Коуровская тетрадь

Представляет собой всемирно известный сборник нескольких тысяч нерешённых задач в области теории групп . Издаётся с 1965 года с периодичностью в 2—4 года. Выпускается на русском и английском языках .

Днестровская тетрадь

Представляет собой сборник нескольких сотен нерешённых задач теории колец и модулей .

Свердловская тетрадь

Представляет собой сборник нерешённых задач теории полугрупп .

Эрлагольская тетрадь

Представляет собой сборник нерешённых задач алгебры и теории моделей .

Анализ

  • Гипотеза Римана . Все ли нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой ?
  • Чему равна постоянная Миллса ? Существующие методы вычисления опираются на ещё недоказанную гипотезу Римана.
  • До сих пор ничего не известно о нормальности таких чисел, как и ; неизвестно даже, какие из цифр 0—9 встречаются в десятичном представлении числа бесконечное количество раз.
  • Является ли всякое иррациональное алгебраическое число нормальным ?
  • Является ли нормальным числом ?
  • Неизвестно ни одного числа, для которого было бы доказано, что среднее геометрическое членов его разложения в непрерывную дробь стремится к постоянной Хинчина (кроме тех, что созданы искусственно ), хотя и доказано, что этим свойством обладают почти все действительные числа. Предполагается, что этим свойством должны обладать числа , Постоянная Эйлера — Маскерони , сама постоянная Хинчина и многие другие математические константы.
  • Сходятся ли ряды и Оба ряда имеют спорадически маленькие значения в знаменателях, но первый ряд гипотетически сходится около 30,31, а второй — около 43.
  • Гипотеза Бреннана . Пусть W односвязное открытое подмножество как минимум с двумя граничными точками на полной плоскости комплексного пространства . Пусть — конформное отображение W в открытый единичный диск. Гипотеза Бреннана утверждает, что

при .

Бреннан доказал результат при для некоторой константы . Бертилсон доказал в 1999 году, что гипотеза верна при , но гипотеза в целом остаётся открытой .

Вопросы иррациональности

  • Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: постоянная Эйлера — Маскерони , постоянная Каталана , постоянная Бруна , постоянная Миллса , постоянная Хинчина , числа Ни для одного из них не известно даже, является ли оно рациональным числом, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом .
  • Неизвестно, являются ли и алгебраически независимыми .
  • Неизвестно, являются ли или целыми числами при каком-либо положительном целом (см. тетрация ). Неизвестно даже, является ли целым (это число имеет свыше 10 17 цифр целой части, и прямое вычисление невозможно).
  • Неизвестно, может ли быть целым, если — положительное целое число, а — положительное рациональное, но не целое число (в частных случаях ответ отрицателен) .
  • Неизвестно, является ли положительный корень уравнения алгебраическим или трансцендентным числом (хотя известно, что он иррационален).
  • Неизвестно, является ли положительный корень уравнения рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом. Аналогичная проблема для тетрации любой большей высоты из любого числа, большего 1, также открыта.
  • Неизвестна точная мера иррациональности для каждого из следующих иррациональных чисел: .
  • Неизвестно, является ли первое число Скьюза целым числом.
  • Трансцендентны ли значения дзета-функции Римана для всех натуральных ?
  • Трансцендентны ли значения гамма-функции для всех целых ? Известно, что Γ(1/2), Γ(1/3), Γ(1/4), и Γ(1/6) трансцендентны.
  • Трансцендентны ли постоянные Фейгенбаума ?
  • Трансцендентна ли ?
  • Всякая ли бесконечная непериодическая непрерывная дробь с ограниченными членами — трансцендентна?
  • Существуют ли Т-числа по классификации К. Малера?
  • Список из нескольких нерешенных задач, связанных с гипотезой Малера , есть в книге .

Комбинаторика

  • Существование матрицы Адамара порядка, кратного 4.
  • Существование конечной проективной плоскости натурального порядка, не являющегося степенью простого числа.
  • Гипотеза Эрдёша — Реньи . Если — фиксированное целое число , то для из . Здесь перманент матрицы , — множество всех — матриц порядка c единицами в каждой строке и каждом столбце .
  • Числа Рамсея для случая почти неизучены .
  • Задача нахождения минимума перманента дважды стохастической матрицы в общем случае не решена .
  • Не известны необходимые и достаточные условия, при которых существует общая трансверсаль для трёх семейств подмножеств .
  • Задача о числе монотонных булевых функций от аргументов .

Комбинаторная геометрия

Теория графов

  • ориентированный граф , имеющий вершин, из каждой вершины которого выходит не менее рёбер, имеет замкнутый контур длиной не более .
  • Гипотеза Хадвигера (теория графов) — каждый -хроматический граф стягиваем к полному графу .
  • Гипотеза Улама :
    • а) всякий граф более чем с двумя вершинами однозначно определяется набором графов, где каждый граф из набора получен удалением одной из вершин исходного графа;
    • б) всякий граф более чем с тремя вершинами однозначно определяется множеством графов, где каждый граф из множества получен удалением одной из вершин исходного графа.
  • Гипотеза Харари (слабая форма гипотезы Улама) — если граф имеет более трёх рёбер, то его можно однозначно восстановить по подграфам, полученным удалением единственного ребра .
  • В любом кубическом графе можно выбрать 6 1-факторов так, чтобы каждое ребро принадлежало ровно двум из них.
  • Гипотеза Рамачандрана — любой орграф -реконструируем .
  • Гипотеза о восстановлении — если заданы классы изоморфизма всех примарных подграфов некоторого графа, то при класс изоморфизма этого графа определяется однозначно .
  • Гипотеза Конвея о трекле — в любом трекле (сеть, в котором каждые два ребра имеют общую точку) число линий меньше или равно числу точек .
  • Гипотеза Рингеля — Коцига — все деревья являются грациозными .
  • Гипотеза о двойном покрытии циклами — для любого графа без мостов существует мультимножество простых циклов, покрывающих каждое ребро графа в точности два раза.
  • Проблема Кёнига — какие условия необходимы и достаточны, чтобы для заданной на множестве группы подстановок существовал такой граф с множеством вершин , что
  • Большое количество нерешённых проблем теории графов есть в статье .
  • Гипотеза Барнетта — любой бикубический полиэдральный граф является гамильтоновым .

Теория узлов

Теория алгоритмов

Вопросы алгоритмической разрешимости

  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений степени 3: существует ли алгоритм , позволяющий по любому диофантовому уравнению степени 3 определить, имеет ли оно решения?
  • Аналог 10-й проблемы Гильберта для уравнений в рациональных числах . Как узнать по произвольному диофантову уравнению, разрешимо ли оно в рациональных (не обязательно целых) числах и можно ли это узнать вообще (то есть возможен ли соответствующий алгоритм)?
  • Алгоритмическая разрешимость для матриц порядка 2. Существует ли алгоритм, позволяющий для данного конечного множества квадратных матриц определить, существует ли произведение всех или некоторых из этих матриц (возможно, с повторениями) в каком-либо порядке, дающее нулевую матрицу .
  • Расширение класса выражений, для которых известен алгоритм, определяющий, равно ли выражение нулю ( ). Для каких классов выражений эта задача алгоритмически неразрешима?
  • Существует ли алгоритм, позволяющий узнать по целочисленной матрице, существует ли её степень, имеющая нуль в правом верхнем углу?
  • Вопрос равенства двух элементов кольца периодов . Существует ли алгоритм, позволяющий по двум заданным полиномиальным системам неравенств на конечное число переменных с рациональными коэффициентами определить, одинаковую ли площадь имеют ограниченные ими области в ?

Теория сложности вычислений

Другие проблемы теории алгоритмов

  • . Сколько ходов может продержаться (незацикливающаяся) машина Тьюринга с состояниями и алфавитом на заполненной нулями ленте? Сколько ненулевых символов она напечатает? Известно, что нет алгоритма (а значит, и рекурсивно аксиоматизируемой формальной теории), который может решить этот вопрос для всех , что обе функции растут быстрее любой вычислимой функции , и пока известны только значения для .
  • Существует ли алгоритм, распознающий для любых двух трёхмерных многообразий, заданных своими триангуляциями, гомеоморфны ли они?
  • Существует ли алгоритм, распознающий по произвольной позиции игры «Жизнь» , «вымрет» ли она (станут ли в итоге все клетки пустыми)?
  • Существует ли теорема о полноте для решётки Мучника?
  • Существует ли алгоритм, определяющий разрешимость и арифметичность множества реализуемых и множества неопровержимых пропозициональных формул?
  • Существуют ли в обычных алгебраических системах алгебраически корректные массовые проблемы различной сложности?
  • Существует ли алгебраическая система, для которой равномерная эквивалентность отличается от программной или программная от проблемной?
  • Восемь нерешенных задач теории алгоритмов сформулировано в книге .

Аксиоматическая теория множеств

  • В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
  • . Рассмотрим множество функций одного натурального переменного , построенных из термов и замкнутых относительно сложения , умножения и возведения в степень . Для функций из этого множества будем писать , если выполняется для всех достаточно больших . Известно, что отношение вполне упорядочивает множество . Какой ординал соответствует этому упорядочению? (Известно, что он не меньше чем и не больше чем первый критический ординал (ординал Кантора) ) Аналогичные вопросы возникают при добавлении в множество разрешённых операторов дополненная тетрации , пентации и гипероператоров более высоких порядков (проблема Скулема, дополненная только тетрацией , была решена в 2010 году) .
  • Существует ли линейно упорядоченное множество с , удовлетворяющим условиям и ?
  • В теории множеств Цермело — Френкеля без аксиомы выбора неизвестно, существуют ли регулярные кардиналы , большие .
  • . Для каких функций существует модель Цермело — Френкеля , в которой для всех кардиналов .
  • Верно ли, что если непротиворечива система аксиом Цермело — Френкеля вместе с аксиомой выбора, то непротиворечива система аксиом Цермело — Френкеля, принцип зависимого выбора и каждое множество действительных чисел есть измеримое по Лебегу множество?
  • Не приведёт ли к противоречию предположение существования таких кардинальных чисел , что декартово произведение m-компактных пространств всегда m-компактно. Неизвестно также, совпадало бы наименьшее из этих чисел с наименьшим измеримым числом или нет .
  • По проблеме континуума известны лишь теорема Гёделя (континуум-гипотеза не может быть опровергнута на основе аксиом арифметики и теории множеств) и теорема Коэна (континуум-гипотеза не может быть доказана на основе аксиом арифметики и теории множеств). Законченная теория по проблеме континуума отсутствует.
  • Проблема континуума разрешима в языке второго порядка теории множеств, но её решение там неизвестно.
  • Неизвестно доказательство непротиворечивости евклидовой геометрии
  • Неизвестно доказательство непротиворечивости системы действительных чисел
  • Существуют ли измеримые кардинальные числа?

Теория доказательств

  • Какое самое короткое неразрешимое утверждение существует в арифметике Пеано ? Неразрешимое утверждение теории — это утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в данной теории. Доказательства теорем Гёделя демонстрируют, как можно строить такие утверждения, но получающиеся утверждения оказываются весьма значительного размера, будучи записанными на формальном языке арифметики.
  • Формулировки шести нерешённых задач теории доказательств есть в книге

Вычислительная математика

  • Определить предельный уровень аппроксимации -стадийного метода Рунге — Кутты (одностадийный = метод Эйлера = , двухстадийный = = , четырёхстадийный = классический метод Рунге — Кутты = , пятистадийный = = тоже ).

Дифференциальные уравнения

  • Гипотеза Абловица — Рамани — Сегура. Все обыкновенные дифференциальные уравнения, полученные из полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, обладают свойством Пенлеве (положение любой алгебраической, логарифмической или существенной особенности решений уравнения не зависит от начальных условий, от произвольных констант интегрирования зависит только положение полюсов) .
  • Имеет ли гамильтонова система, интегрируемая по Лиувиллю, эквивалентную формулировку с помощью лаксовой пары, и если имеет, то как её построить?
  • Отсутствует общая теория дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа .

Теория вероятностей

  • Неизвестны необходимые и достаточные условия принадлежности безгранично делимого закона распределения случайной величины в одномерном и многомерном случаях к классу законов, не имеющих неразложимых компонент .
  • Неизвестна точная аналитическая формула для вероятностного распределения площадей фигур, определяемых случайными прямыми на плоскости .
  • Проблема Кантелли : пусть и - независимые случайные величины, имеющие нормальное распределение . - измеримая неотрицательная функция. Известно, что случайная величина имеет нормальное распределение. Следует ли отсюда, что почти всюду постоянна?
  • Неизвестны многомерные обобщения теоремы Титчмарша — Пойи .
  • По-видимому, существуют более широкие условия, при которых необходимы определенные ограничения на случайные величины в схеме серий произвольных независимых случайных величин для сходимости в среднем закона больших чисел .
  • Неизвестно точное значение константы в неравенстве Берри — Эссеена .
  • Все устойчивые распределения имеют сколь угодно раз дифференцируемые плотности, но явный вид этих плотностей известен лишь для немногих законов .

Уравнения математической физики

  • Отсутствует строгое математическое обоснование метода континуального интегрирования в квантовой теории поля .
  • Континуальные интегралы удаётся вычислить только для случая гауссовых квадратур. В общем случае способ вычисления континуальных интегралов неизвестен .
  • Неизвестно точное решение уравнения Шрёдингера для многоэлектронных атомов .
  • В квантовой механике при решении задачи о рассеянии двух пучков на одном препятствии сечение рассеяния получается бесконечно большим
  • Уравнения Навье — Стокса . Существует ли гладкое решение уравнения Навье-Стокса в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?
  • Уравнение Эйлера . Существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени?
  • В гидродинамике есть сотни нерешённых задач .
  • Отсутствует законченная теория, объясняющая происхождение и эволюцию магнитного поля Земли .
  • Гипотеза Йоргенса Пусть — открытое множество, дополнение которого имеет меру нуль. Пусть и непрерывны на и оператор Шрёдингера ограничен снизу и самосопряжён в существенном на . Если , то также самосопряжён в существенном на .
  • Можно ли обобщить систему аксиом Хаага — Кастлера путём использования вместо принципа инвариантности относительно группы Пуанкаре принципа общей ковариантности ?
  • Квантование полей Янга — Миллса .
  • Неизвестна точная формула для вычисления постоянной Маделунга .
  • Неизвестно точное решение задачи Изинга в трёхмерном случае .
  • Неизвестны точные формулы для силы отталкивания между остатками атомов в ионном кристалле .
  • Неизвестно доказательство принципа космической цензуры , а также точная формулировка условий, при которых он выполняется .
  • Отсутствует полная и законченная теория магнитосферы чёрных дыр .
  • Неизвестна точная формула для вычисления числа различных состояний системы, коллапс которой приводит к возникновению чёрной дыры с заданными массой, моментом количества движения и зарядом .
  • Неизвестно доказательство в общем случае «теоремы об отсутствии волос» у чёрной дыры .
  • Отсутствует общая теория корректных краевых условий для обобщённых дифференциальных операторов с переменными коэффициентами .
  • Неизвестно общее доказательство, что ряд теории возмущений для электронов в зоне проводимости металлов сходится .
  • Не удаётся удовлетворительно рассчитать эффективную массу электронов при движении в магнитном поле в металлах по Ферми-поверхности и для электронной теплоёмкости .
  • Неизвестен метод расчёта структурных факторов для жидких металлов .
  • Существуют ли дифференциальные уравнения в частных производных, отличные от обычного волнового уравнения, но решения которых удовлетворяют принципу Гюйгенса?
  • Основная проблема аксиоматической квантовой теории поля . Неизвестна теория, удовлетворяющая всем аксиомам аксиоматической квантовой теории поля и описывающая взаимодействующие поля и нетривиальную матрицу рассеяния .
  • Неизвестно описание класса обобщённых функций , удовлетворяющих условию для двухточечной функции Уайтмана : .
  • Неизвестно доказательство эргодической гипотезы для произвольных динамических систем .
  • Неизвестно решение задачи сращивания решений уравнения Больцмана по обе стороны от ударного слоя по теории Чепмена-Энскога .
  • Необходимые и достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы до сих пор не найдены .
  • Неизвестен способ последовательного проведения перенормировочной процедуры, основанной на инвариантной регуляризации, при операторном подходе к квантованию гравитационного поля .

Теория игр

  • Отсутствует общая математическая теория игр, проводимых на пространстве функций (поскольку мощность множества действительных функций существенно превышает мощность континуума) .
  • Отсутствует общая математическая теория псевдоигр (конфликтных ситуаций, не являющихся играми) .
  • Отсутствует общая математическая теория некооперативных игр лиц для .
  • Формулировки нерешённых проблем теории игр есть в книге .
  • Не решена задача построения алгоритмов обучения решению игр, когда элементы платёжной матрицы не постоянны, а представляют собой случайные величины, либо неизвестны (игра вслепую) .

Теория представлений групп

  • . Любое неприводимое представление вещественной полупростой группы Ли , входящее в дискретную часть разложения регулярного представления, реализуется в пространстве — когомологий подходящего пучка на пространстве , где — компактная картановская подгруппа в .

Общая топология

  • . Определить, является ли каждое нормальное хаусдорфово пространство счётно паракомпактным .
  • Список из нерешённых проблем теоретико-множественной топологии есть в статье .
  • Неизвестна мощность множеств, дополнительных к -множествам, даже в одномерном случае .
  • Выполняется ли для бикомпактов основная теорема теории размерностей: индуктивная размерность (размерность по Урысону) равна размерности, определённой с помощью покрытий ?
  • Гипотеза Менгера Рассмотрим класс всех подмножеств некоторого евклидового пространства или класс всех сепарабельных метрических пространств . Неизвестно, выполняется ли условие для когомологических размерностей: для каждого существует такой компакт что , где .
  • Несколько десятков нерешённых вопросов по теории ретрактов есть в книге .
  • Несколько нерешённых проблем четырехмерной топологии есть в книге .

Линейная алгебра

  • Проблема Фреше о максимуме определителя Найти максимум определителя где все равны . Известны лишь оценки .

Теория случайных процессов

  • Задача определения закона распределения числа выбросов случайного процесса в общем случае не имеет законченного и компактного решения .
  • Задача определения закона распределения абсолютных максимумов случайного процесса решена только для марковских процессов. Для остальных процессов точное решение неизвестно .
  • Пусть частица блуждает в пространстве : выходит из и в дискретные моменты времени совершает с вероятностью единичный скачок в одну из соседних точек. Какова вероятность того, что после шагов траектория частицы ни разу не пересекала себя? Каково математическое ожидание расстояния конца несамопересекающейся траектории от начала координат?
  • Проблема Колмогорова : Имеется семейство (в общем случае комплекснозначных) интегрируемых функций. Какие условия (эффективно проверяемые) необходимо наложить на эти функции, чтобы для некоторого случайного поля при или при эти функции были спектральными плотностями -го порядка, ?

Функциональный анализ

  • Список из 22 нерешённых задач теории операторов в банаховом пространстве есть в книге .
  • Список из 6 нерешённых задач теории эллиптических операторов в комплексных аналитических многообразиях есть в книге .
  • Существует ли в каждом банаховом пространстве бесконечномерное подпространство с безусловным базисом?
  • В книге сформулированы нерешённых проблем функционального анализа .
  • Возможно ли обобщить теорему Коши-Ковалевской на уравнения в частных функциональных производных ?

Теория динамических систем

  • Неизвестно, является ли система из двух и более твёрдых бильярдных шаров К-потоком при несингулярных взаимодействиях .
  • Существует ли универсальный сценарий перехода динамических систем к хаосу?
  • Возможно ли описание процесса усложнения хаоса в терминах бифуркаций?


Риманова геометрия

  • Существует ли на дифференцируемом многообразии риманова метрика положительной кривизны? .

Исследование операций

  • Не существует комбинаторного метода решения целочисленных задач линейного программирования с полиномиальной (в отличие от экспоненциальной) оценкой трудоёмкости? .
  • Отсутствует общая теория алгоритмических методов оптимизации, позволяющая обеспечить ускорение сходимости и выбор шага итерации в общем случае многошаговых алгоритмов .
  • Неизвестны условия сходимости почти наверное в область для многошаговых алгоритмов адаптации и обучения .
  • Неизвестны правила определения момента установления стационарности алгоритма адаптации и обучения .
  • Неизвестны оценки зависимости точности аппроксимации от числа функций и оценки времени обучения для алгоритмов опознавания .
  • Неизвестны общие способы получения несмещённых оценок при заданном критерии оптимальности в задачах идентификации .
  • Неизвестны общие правила выбора системы функций в задачах фильтрации .
  • Неисследована связь между скоростью изменения внешних воздействий и длительностью процесса адаптации фильтра .
  • Неизвестны способы использования априорной информации о распределениях случайных величин для построения адаптивных фильтров .
  • Неизвестен способ применения адаптивного подхода при ускоренных испытаниях на надёжность .
  • Отсутствует общая теория сетевого планирования с применением адаптивного подхода при недостаточной априорной информации .
  • Можно ли произвольную вероятностно-операторную меру реализовать посредством некоторого физического прибора?
  • Неизвестны методы решения оптимизационых уравнений квантовой теории принятия решений и оценивания .
  • Каким образом точность оценок зависит от числа наблюдений в квантовой теории оценивания?
  • Список из нерешённых проблем теории адаптивных и обучающихся систем есть в статье

Алгебраическая геометрия

  • Список из восьми нерешённых проблем алгебраической геометрии есть в книге .
  • Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера . При каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах?
  • Гипотеза Нагаты о кривых . Найти минимальную степень плоской алгебраической кривой , необходимую для прохождения её через набор очень общих точек с заданными .
  • Гипотеза Ходжа . Пусть - группа классов Ходжа. Тогда на любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов .

Теория автоматов

  • Можно ли формализовать математически способность к самовоспроизведению сотообразных структур?
  • Неизвестен способ определения, насколько сложной должна быть система (например, молекула), образованная из частей, для того, чтобы быть способной к самовоспроизведению и эволюции с усложнением потомства?
  • Может ли сотообразная структура иметь самовоспроизводящиеся конфигурации, но не иметь стираемых конфигураций?
  • Каким способом можно добиться, чтобы машины осуществляли самовоспроизведение не последовательно, а параллельно?

Вариационное исчисление

  • Формулировки более нерешённых проблем вариационного исчисления, связанных с вариациями множеств и функций, приведены в книге .

Многомерный комплексный анализ

  • Перечисление нерешённых задач многомерного комплексного анализа есть в книге .
  • Формулировки нерешённых задач многомерного комплексного анализа с краткими комментариями есть в книге .

Оптимальное управление

  • Подробное обсуждение нерешенных проблем теории оптимального управления есть в книге .
  • Список нерешённых задач оптимального управления сингулярными системами с распределенными параметрами есть в книге .

См. также

Примечания

  1. , с. 37.
  2. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  3. , с. 406.
  4. от 17 мая 2011 на Wayback Machine от 25 июля 2011 на Wayback Machine . MathPro Press.
  5. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  6. от 17 мая 2011 на Wayback Machine от 25 июля 2011 на Wayback Machine . MathPro Press.
  7. Улам С. Глава III // Нерешённые математические задачи. — Наука, 1964.
  8. от 17 мая 2011 на Wayback Machine от 25 июля 2011 на Wayback Machine . MathPro Press.
  9. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  10. от 17 мая 2011 на Wayback Machine от 25 июля 2011 на Wayback Machine . MathPro Press.
  11. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  12. . Дата обращения: 20 декабря 2008. 29 декабря 2008 года.
  13. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  14. . Дата обращения: 19 декабря 2008. 20 мая 2009 года.
  15. от 17 мая 2011 на Wayback Machine от 25 июля 2011 на Wayback Machine . MathPro Press.
  16. (недоступная ссылка)
  17. , от 14 марта 2022 на Wayback Machine
  18. . Дата обращения: 21 декабря 2008. 10 августа 2019 года.
  19. Jeandel, Emmanuel; Rao, Michael (2015), "An aperiodic set of 11 Wang tiles", , arXiv : . (Показан непериодический набор из 11 плиток с 4 цветами.)}
  20. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  21. . Дата обращения: 8 сентября 2010. 18 ноября 2010 года.
  22. Tobias Kreisel, Sascha Kurz, от 11 июня 2007 на Wayback Machine
  23. Erich Friedman, от 13 июня 2010 на Wayback Machine
  24. Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. — Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. — S. 127—139. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (нем.)
  25. Kawohl B. (англ.) // Oberwolfach Reports. — Zurich : European Mathematical Society Publishing House, 2009. — Vol. 6 , no. 1 . — P. 390—393 . 2 июня 2013 года.
  26. Anciaux H., Guilfoyle B. On the Three-Dimensional Blaschke-Lebesgue Problem (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — Providence : American Mathematical Society , 2011. — Vol. 139 , no. 5 . — P. 1831—1839 . — ISSN . — doi : . arXiv :
  27. , с. 96.
  28. . Дата обращения: 22 декабря 2008. 20 мая 2009 года.
  29. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  30. . Дата обращения: 20 декабря 2008. 13 марта 2012 года.
  31. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  32. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  33. Ковалёв М.Д. Геометрические вопросы кинематики и статики. — Москва : Ленанд, 2019. — 249 с.
  34. R. Grigorchuk, I. Pak на arXiv
  35. Sharipov, R.A. (2009). "Transfinite normal and composition series of groups". arXiv : [ ].
  36. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1972. — С. 30.
  37. Л.С. Понтрягин. Непрерывные группы. — Наука, 1972. — 349 с.
  38. А.И. Мальцев. Алгебраические системы. — Наука, 1970. — 299 с.
  39. , с. 424.
  40. , с. 426.
  41. , с. 429.
  42. , с. 4.
  43. .
  44. , с. 110.
  45. , с. 47, 88, 116, 134, 158, 159, 186, 210, 242, 243, 292, 318.
  46. / Редакторы: М. И. Каргаполов (гл. ред.), Ю. И. Мерзляков, В. Н. Ремесленников. — 4-е изд. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения АН СССР, 1973. 21 апреля 2014 года.
  47. / Сост. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. — 18 изд., доп. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения РАН, 2014. — 253 с.
  48. / Сост. В. Д. Мазуров, Е. И. Хухро. — 19 изд., доп. — Новосибирск: Институт математики Сибирского отделения РАН, 2018. — 248 с. 12 июня 2018 года.
  49. / Сост. В. Т. Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков. — 4-е изд. — Новосибирск : Институт математики СО РАН , 1993. — 73 с. 4 октября 2015 года.
  50. Свердловская тетрадь: Сб. нерешённых задач по теории полугрупп. — Свердловск : Уральский государственный университет , 1979. — 41 с.
  51. Свердловская тетрадь: Сб. нерешённых задач по теории полугрупп. — Свердловск : Уральский государственный университет , 1989.
  52. / Сост. А. Г. Пинус, Е. Н. Порошенко, С. В. Судоплатов. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2018. — 40 с. — ISBN 978-5-7782-3548-9 . 5 июля 2018 года.
  53. , с. 225.
  54. . — Springer, 2015-09-15. — С. 5. — 427 с.
  55. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  56. Thomas Wieting. (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2007-11-30. — Vol. 136 , iss. 03 . — P. 815–825 . — ISSN . — doi : .
  57. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  58. Полная плоскость содержит дополнительную точку — бесконечно удалённую.
  59. , с. 261–272.
  60. .
  61. .
  62. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  63. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  64. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  65. . Дата обращения: 12 декабря 2011. 19 июля 2010 года.
  66. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  67. . Дата обращения: 12 декабря 2011. 17 мая 2013 года.
  68. Дата обращения: 28 апреля 2013. 6 мая 2014 года.
  69. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  70. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables ( ISBN 2-7056-1407-9 ). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, от 13 ноября 2014 на Wayback Machine
  71. Chudnovsky, G. V. Contributions to the Theory of Transcendental Numbers (англ.) . — Providence, RI: American Mathematical Society , 1984. — ISBN 0-8218-1500-8 . via Wolfram Mathworld, от 13 ноября 2014 на Wayback Machine
  72. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  73. Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — Т. 29, № 2. — С. 379—436.— URL:
  74. , с. 8.
  75. , с. 150—154.
  76. Минк Х. Перманенты. — М. : Мир, 1982. — 211 с.
  77. , с. 96.
  78. , с. 110.
  79. , с. 530.
  80. , с. 8.
  81. , с. 47.
  82. , с. 83.
  83. , с. 6.
  84. . Дата обращения: 10 июля 2011. 7 июня 2011 года.
  85. , с. 264.
  86. , с. 18.
  87. , с. 286.
  88. , с. 154.
  89. , с. 407.
  90. , с. 47.
  91. В. Г. Визинг // УМН , 23:6(144) (1968), 117–134; Russian Math. Surveys, 23:6 (1968), 125–141
  92. Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
  93. Yuri Matiyasevich, от 13 июня 2010 на Wayback Machine
  94. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
  95. Успенский В. А. , Семёнов А. Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. — Наука, 1987.
  96. Дата обращения: 6 мая 2010. 8 декабря 2015 года.
  97. , с. 24.
  98. .
  99. Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  100. «Even if someone manages to prove one of the conjectures—thereby demonstrating that ω = 2—the wreath product approach is unlikely to be applicable to the large matrix problems that arise in practice. (…) the input matrices must be astronomically large for the difference in time to be apparent.» Le Gall, François (2014), "Powers of tensors and fast matrix multiplication", Proceedings of the 39th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation ( 2014) , arXiv :
  101. , с. 9.
  102. И. В. Абрамов. Теория автоматов, языков и вычислений. — М. , 2003.
  103. последовательность в OEIS
  104. , с. 245—247.
  105. . Дата обращения: 4 сентября 2010. 17 ноября 2010 года.
  106. . Дата обращения: 14 февраля 2011. 21 сентября 2015 года.
  107. (недоступная ссылка)
  108. (недоступная ссылка)
  109. Вацлав Серпинский . Cardinal And Ordinal Numbers. — Варшава : Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
  110. , с. 17.
  111. , с. 66.
  112. , с. 81.
  113. , с. 324.
  114. Ю. И. Манин , // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 5, ВИНИТИ, М., 1975, 5—72
  115. , с. 156.
  116. , с. 157.
  117. , с. 35.
  118. . Дата обращения: 7 сентября 2010. 17 июня 2010 года.
  119. , с. 54, 59, 60, 82.
  120. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. — пер. с англ. — М.: «Эдиториал УРСС», 2001. — 320 с. — тир. 1000 экз. — ISBN 5-8360-0192-8 . — гл. 1 «Динамика дифференциальных уравнений», 1.4 «Линейный анализ устойчивости», 1.4г «Предельные циклы». — с. 29
  121. , с. 68.
  122. , с. 74.
  123. , с. 181.
  124. , с. 310.
  125. , с. 11.
  126. Линник Ю. В. , Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972. — 479 стр. — гл. X. Нерешённые проблемы
  127. , с. 66.
  128. , с. 100.
  129. , с. 103.
  130. , с. 190.
  131. , с. 202.
  132. , с. 220.
  133. Кострикин А.И. , Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. — Санкт-Петербург: Лань, 2008. — С. 304. — ISBN 978-5-8114-0612-8 .
  134. Ф. Дж. Дайсон , , УМН , 35:1(211) (1980), 171—191
  135. Боголюбов Н. Н. , Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М. : Наука, 1973. — С. 322.
  136. Г. Бете . Квантовая механика. — М.: Мир, 1965. — стр. 12.
  137. Пригожин И. , Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — стр. 114, — ISBN 5-354-00268-0 .
  138. , с. 308.
  139. , с. 315.
  140. Бетяев С. К. от 16 октября 2013 на Wayback Machine // УФН , т. 165, 1995, № 3, с. 299—330
  141. , с. 80.
  142. , с. т. 2, с. 370.
  143. , с. 9.
  144. , с. 348.
  145. , с. 55.
  146. , с. 403.
  147. , с. 152.
  148. , с. 99.
  149. , с. 151.
  150. , с. 267.
  151. , с. 132.
  152. , с. 553.
  153. , с. 20.
  154. , с. 144.
  155. , с. 150.
  156. , с. 177.
  157. , с. 86.
  158. , с. 176,213.
  159. , с. 190.
  160. , с. 40.
  161. , с. 291.
  162. , с. 228.
  163. , с. 218.
  164. Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. — М.: Физматлит, 1960. — С. 224
  165. , с. 19, 62, 141, 153, 182, 271, 272, 274.
  166. , с. 318.
  167. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. — С. 227
  168. Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — С. 232.
  169. Малыхин В. И. // УМН . — 1983. — Т. 38. — № 1(229). — С. 69—118.
  170. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — С. 219.
  171. , с. 14.
  172. Кузьминов В. И. Гомологическая теория размерности // УМН . — 1968. — Т. 23, № 5. — С. 5. — URL:
  173. , с. 257—277.
  174. , с. 82,178,202,255,263,266.
  175. , с. 98.
  176. , с. 243.
  177. , с. 280.
  178. , с. 99.
  179. , с. 107.
  180. , с. 272.
  181. , с. 177.
  182. Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М., Наука , 1972. — с. 70
  183. , с. 130-132,255-256,340-341.
  184. , с. 172.
  185. , с. 57.
  186. , с. 151.
  187. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971. — С. 282.
  188. ред. Моисеев Н. Н. Современное состояние теории исследования операций. — М.: Наука, 1979. — С. 289.
  189. , с. 55.
  190. , с. 90.
  191. , с. 135.
  192. , с. 165.
  193. , с. 198.
  194. , с. 257.
  195. , с. 278.
  196. , с. 325.
  197. , с. 326.
  198. Цыпкин Я. З. Адаптация, обучение и самообучение в автоматических системах // Автоматика и телемеханика . — 1966. — № 1. — С. 23—61. — ISSN 0005-2310. — URL:
  199. , с. 246.
  200. , с. 360.
  201. , с. 367.
  202. , с. 56.
  203. , с. 57.
  204. , с. 59, 112, 190, 245, 270.
  205. , с. 8, 10, 42, 54, 66, 79, 80, 85, 88.
  206. , с. 265-270.
  207. , с. 89, 115, 147, 192, 208, 268, 278, 303, 304, 365, 398, 446.
  208. , с. 152, 257, 334, 357.

Литература

  • Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. — М. : Мир, 1973. — 147 с.
  • Тихонов В. И. Выбросы случайных процессов. — М. : Наука, 1970. — 392 с.
  • ред. Акилов Г. П. Теория операторов в функциональных пространствах. — Новосибирск: Наука, 1977. — 392 с.
  • Ауман Р., Шепли Л. Значения для неатомических игр. — М. : Мир, 1977. — 357 с.
  • Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. — М. : Наука, 1986. — 256 с.
  • Пригожин И. От существующего к возникающему. — М. : КомКнига, 2006. — 296 с.
  • Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд.. — М. : Наука, 1967. — 638 с.
  • Жарков В. Н. Внутреннее строение Земли и планет. — М. : Наука, 1978. — 192 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М. : Мир, 1989. — 326 с. — ISBN 5-03-001118-8 .
  • Цыпкин Я. З. Адаптация и обучение в автоматических системах. — М. : Наука, 1968. — 400 с.
  • Куратовский К. , Мостовский А. Теория множеств. — М. : Мир, 1970. — 413 с.
  • Улам С. Нерешённые математические задачи. — М. : Наука, 1964. — 168 с.
  • Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М. : МЦНМО, 2012. — 256 с.
  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М. : Наука, 1973. — 143 с.
  • Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р. И. Лекции по теории графов. — М. : Наука, 1990. — 384 с. — ISBN 5-02-013992-0 .
  • Цикон Х., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — М. : Мир, 1990. — 408 с. — ISBN 5-03-001422-5 .
  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, в 4 т. — М. : Мир, 1978. — 1000 с.
  • Татт У. Теория графов. — М. : Мир, 1988. — 424 с.
  • Кендалл М., Моран П. Геометрические вероятности. — М. : Наука, 1972. — 192 с.
  • Кон П. Свободные кольца и их связи. — М. : Мир, 1975. — 420 с.
  • Ершов Ю. Л. , Палютин Е. А. Математическая логика. — М. : Наука, 1987. — 336 с.
  • Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3 .
  • Займан Дж. Принципы теории твёрдого тела. — М. : Мир, 1974. — 472 с.
  • Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. — М. : Мир, 1979. — 344 с.
  • Новиков И. Д. , Фролов В. П. Физика чёрных дыр. — М. : Наука, 1986. — 328 с.
  • Михлин С. Г. Курс математической физики. — М. : Наука, 1968. — 575 с.
  • Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. — М. : Мир, 1968. — 366 с.
  • Беллман Р. Математические проблемы в биологии. — М. : Мир, 1966. — 277 с.
  • В. Г. Болтянский , И. Ц. Гохберг . . — М. : Наука, 1965. — 107 с.
  • Трикоми Франческо . О линейных уравнениях смешанного типа. — М. : ОГИЗ ГИТТЛ, 1947. — 190 с.
  • Иванов Л. Д. Вариации множеств и функций. — М. : Наука, 1975. — 352 с.
  • Мостепаненко А. М., Мостепаненко М. В. Четырехмерность пространства и времени. — Л. : Наука, 1966. — 189 с.
  • Гуревич В., Волмэн Р. Теория размерности. — Л. : ИЛ, 1948. — 231 с.
  • Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. — М. : Просвещение, 1968. — 231 с.
  • Боголюбов Н. Н. , Логунов А. А. , Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М. : Наука, 1969. — 424 с.
  • Борсук К. Теория ретрактов. — М. : Мир, 1971. — 291 с.
  • Четырехмерная топология. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
  • Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. — Минск: Наука и техника, 1967. — 184 с.
  • Гриффитс Ф., Кинг Дж. Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий. — М. : Мир, 1976. — 95 с.
  • Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — М. : Наука, 1975. — 526 с.
  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М. : Мир, 1978. — 495 с.
  • Шварц Л. Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения. — М. : Мир, 1964. — 212 с.
  • Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. — М. : Мир, 1981. — 289 с.
  • Разборов А. А. Алгебраическая сложность. — М. : МЦНМО , 2016. — 32 с. — ISBN 978-5-4439-1032-1 .
  • Грюнбаум Б. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М. : Наука, 1971. — 93 с.
  • Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М. : Наука, 1971. — 119 с.
  • Малинецкий Г. Г. , Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М. : Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7 .
  • Лионс Ж. Л. Управление сингулярными распределенными системами. — М. : Наука, 1987. — 368 с.
  • ред. Скорняков Л. А. Общая алгебра Т. 1. — М. : Наука, 1990. — 592 с.
  • Эббинхауз Г. Д., Якобс К., Ман Ф. К., Хермес Г. Машины Тьюринга и рекурсивные функции. — М. : Мир, 1972. — 262 с.
  • Рыбников К. А. Введение в комбинаторный анализ. — МГУ, 1972.
  • Капитонова Ю. В., Кривой С. Л., Летичевский А. А. Лекции по дискретной математике. — СПб., БХВ-Петербург, 2004. — 624 с. — 3000 экз. ISBN 5-94157-546-7 .
  • под ред. Дороговцев А. Я. Математика сегодня. — Киев, Вища школа, 1983. — 192 с. — 3000 экз.
  • Боровков А. А. Теория вероятностей. — М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2017. — 656 с. — ISBN 978-5-397-05711-0 .
  • Н. К. Верещагин , А. Х. Шень . . — М. : МЦНМО, 2017. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0943-1 .
  • Айзерман М. А. Классическая механика. — Наука, 1980. — 367 с.
  • Коноплёва Н. П. , Попов В. Н. Калибровочные поля. — Атомиздат, 1980. — 240 с.
  • Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.
  • Лионс Ж.Л. , Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М. : Мир , 1971. — 386 с.
  • Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М. : Наука , 1967. — 509 с.
  • Комплексный анализ в современной математике. — М. : Фазис, 2001. — 272 с. — ISBN 5-7036-0066-9 .
  • James E. Brennan. // Journal of the London Mathematical Society. — 1978. — Т. 2 , вып. 2 . — С. 261–272 . — doi : .
  • Georgios Stylogiannis. . — Greece: Aristotle University of Thessaloniki, 2011.
  • Hu J., Chen S. A better lower bound estimation of Brennan's conjecture. — 2015.
  • Daniel Bertilsson. . — Kungliga Tekniska Högskolan, 1999.
  • Wigderson А. Mathematics and Computation: A Theory Revolutionizing Technology and Science. — Princeton University Press, 2019. — 440 с. — ISBN 978-0-691-18913-0 .


Ссылки

  • (англ.)
  • (англ.)
  • (англ.)
  • (англ.)
  • (англ.)
Источник —

Same as Открытые математические проблемы