Interested Article - Кривая Персея

Кривые Персея как сечения тора плоскостью

Три кривых Персея:
$a=1,b=2,c=0$
$a=1,b=2,c=0{,}8$
$a=1,b=2,c=1$

Кривая Персея ( спирическое сечение , спирическая линия , от др.-греч. σπειρα — тор ) — сечение тора плоскостью, параллельной оси вращения тора; плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. В зависимости от параметров сечения, кривые могут иметь формы «выпуклых» и «вдавленных» овалов, «восьмёрок» и двух овалов .

Впервые этот подкласс торических сечений изучен древнегреческим геометром Персеем около 150 года до н. э., спустя приблизительно 200 лет после первых исследований конических сечений Менехмом . Переоткрыты в XVII веке ; лемниската Бута («выпуклый овал») и овал Кассини («восьмёрка») — частные случаи кривой Персея.

Уравнение кривой в декартовой системе координат :

(r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})

,

в ней $a$ — радиус окружности, вращением которой вдоль окружности с радиусом $r$ образован тор. При $c=0$ кривая состоит из двух окружностей радиуса $a$ с центрами $(\pm r,0)$ ; при $c=r+a$ кривая вырождается в точку — начало координат , если же $c>r+a$ — то кривая состоит из пустого множества точек .

Если ввести новые параметры: $d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2})$ , $e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2})$ и $f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)$ , то возникает другая форма уравнения :

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f

.

Также можно определить кривую Персея как , симметричную относительно осей $x$ и $y$ .

Уравнение в полярных координатах :

(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})

,

или :

r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f

.

Поскольку в приведённые неявные формулы входят только квадраты переменных, то получение явных формул сводится к решению квадратных уравнений.

Примечания

, с. 42: «Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям».
↑ , с. 43.
↑ .
↑ Если система уравнений для $d$ , $e$ , $f$ не имеет решения в множестве допустимых параметров тора, то это уравнение не описывает кривую Персея.
// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.

Литература

Стиллвелл Д. Математика и её история. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 42—43. — 530 с.

Ссылки

Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
(неопр.) . MacTutor History (1 января 1997). Дата обращения: 18 мая 2018. Архивировано из 26 октября 2019 года.
Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон . (англ.) — биография в архиве MacTutor .