Замкнутое множество — подмножество ${\displaystyle V}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ с топологией ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ , дополнение к которому открыто : ${\displaystyle X\setminus V\in {\mathcal {T}}}$ . Впервые определены Георгом Кантором в 1884 году .

Пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто). Отрезок ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой , так как его дополнение открыто. Множество ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$ замкнуто в пространстве рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Замыкание множества ${\displaystyle U}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ — минимальное по включению замкнутое множество ${\displaystyle Z}$ , содержащее ${\displaystyle U}$ . Множество замкнуто тогда и только тогда, когда совпадает со своим замыканием.

Важный подкласс замкнутых множеств образуют канонически замкнутые множества , каждое из которых является замыканием какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве ${\displaystyle F}$ содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества ${\displaystyle F}$ .

Примечания

Литература

• . Общая топология. — М. : Мир , 1986. — 752 с.
• . Общая топология. — М. : Наука , 1968. — 388 с.