Автоморфизм — изоморфизм между математическим объектом и им самим; отображение, изменяющее объект с сохранением всех его изначальных свойств. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу автоморфизмов , которую можно рассматривать как обобщение группы симметрий объекта.

Точное определение автоморфизма зависит от типа математического объекта и контекста. В универсальной алгебре автоморфизм определяется как биективный гомоморфизм алгебраической системы на себя. Тождественное отображение иногда называется тривиальным автоморфизмом ; соответственно, нетождественные автоморфизмы называются нетривиальными .

Автоморфизм в теории категорий определяется как эндоморфизм , который также является изоморфизмом .

Если автоморфизмы объекта ${\displaystyle X}$ в категории ${\displaystyle C}$ образуют множество , то они образуют группу относительно операции композиции морфизмов — группу автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{C}(X)}$ (или просто ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ , если категория ясна из контекста).

Первый из известных описанных автоморфизмов групп — автоморфизм второго порядка в икосиане , выявленный Гамильтоном в 1856 году .

Примеры

В теории множеств произвольная перестановка элементов множества ${\displaystyle X}$ является автоморфизмом. Группа автоморфизмов ${\displaystyle X}$ также называется симметрической группой на ${\displaystyle X}$ .

Множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: взятие противоположного по знаку. Однако, рассматриваемое как кольцо , оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, взятие противоположного является автоморфизмом для любой абелевой группы , но не для кольца или поля.

Автоморфизм группы — это групповой изоморфизм группы на себя; «перестановка» элементов группы, при которой структура остаётся неизменной. Для каждой группы ${\displaystyle G}$ существует естественный гомоморфизм групп ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (G)}$ , образ которого есть группа внутренних автоморфизмов ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ и ядро которого является центром группы ${\displaystyle G}$ . Таким образом, если группа а ${\displaystyle G}$ имеет тривиальный центр, её можно вложить в собственную группу автоморфизмов .

В линейной алгебре эндоморфизмом векторного пространства ${\displaystyle V}$ является линейный оператор ${\displaystyle V\to V}$ . В этом контексте автоморфизм — это обратимый линейный оператор на ${\displaystyle V}$ . Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов ${\displaystyle V}$ совпадает с общей линейной группой ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ . (Алгебраическая структура, состоящая из ${\displaystyle V}$ , сама по себе является алгеброй над тем же полем, что и ${\displaystyle V}$ , чьи обратимые элементы в точности состоят из ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ .)

Автоморфизм полей — биективный кольцевой гомоморфизм поля в себя. В случае рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ не существует нетривиальных автоморфизмов этих полей. Некоторые подполя ${\displaystyle \mathbb {R} }$ имеют нетривиальные автоморфизмы, которые, однако, не продолжаются на всё ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (например, потому что эти автоморфизмы не сохраняют свойство числа иметь квадратный корень в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ). В случае комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ существует единственный нетривиальный автоморфизм, переводящий ${\displaystyle \mathbb {R} }$ в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : комплексное сопряжение , но существует бесконечное ( несчётное ) множество «диких» автоморфизмов (в предположении аксиомы выбора ) . Автоморфизмы полей важны для теории расширений полей , в частности, расширений Галуа . В случае расширения Галуа ${\displaystyle L/K}$ подгруппа всех автоморфизмов ${\displaystyle L}$ , фиксирующих ${\displaystyle K}$ поточечно, называется группой Галуа расширения.

Группа автоморфизмов кватернионов ( ${\displaystyle H}$ ) как кольца — это внутренние автоморфизмы по : отображения вида ${\displaystyle a\to bab^{-1}}$ . Эта группа изоморфна ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ , группе вращений в трёхмерном пространстве.

Группа автоморфизмов октонионов ( ${\displaystyle O}$ ) является исключительной группой Ли G2 .

В теории порядков важную роль играет — автоморфзим частично упорядоченных множеств, сохраняющий отношение порядка.

В теории графов автоморфизм графа — это перестановка узлов, сохраняющая рёбра и нерёбра. В частности если два узла соединены ребром, то и их отображения после применения автоморфизма также соединены ребром. В этом случае автоморфизм работает как перенумерация или перестановка вершин графа.

В геометрии автоморфизм называют движением пространства. Также используется специализированная терминология: в категории римановых поверхностей автоморфизм — это биголоморфное отображение (также называемое конформным отображением ) с поверхности на себя. Например, автоморфизмы сферы Римана — это преобразования Мёбиуса . Автоморфизм дифференцируемого многообразия ${\displaystyle M}$ есть диффеоморфизм из ${\displaystyle M}$ в себя. Группа автоморфизмов иногда обозначается ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ .

В топологии морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывными отображениями , а автоморфизм топологического пространства — это гомеоморфизм пространства в себя. Это пример того, что не всегда достаточно биективности морфизма, чтобы он был изоморфизмом.

Внутренние и внешние автоморфизмы

В некоторых алгебраических системах, в том числе группах , кольцах и алгебрах Ли , автоморфизмы можно разделить на два типа — внутренние и внешние.

В случае групп внутренние автоморфизмы — это сопряжения при помощи элементов самой группы. Для каждого элемента ${\displaystyle a}$ группы ${\displaystyle G}$ сопряжение при помощи ${\displaystyle a}$ есть операция ${\displaystyle \phi _{a}:G\to G}$ определяемая как ${\displaystyle \phi _{a}(g)=aga^{-1}}$ (или ${\displaystyle a^{-1}ga}$ ; зависит от источника). Легко проверить, что сопряжение при помощи ${\displaystyle a}$ является автоморфизмом групп. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ , обозначаемую через ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ ; это описывается .

Остальные автоморфизмы называются внешними автоморфизмами. Факторгруппу ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)}$ обычно обозначают ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)}$ ; нетривиальные элементы — это смежные классы , содержащие внешние автоморфизмы.

То же самое определение имеет смысл в любом кольце с единицей или в поле , где любой элемент обратим . Для алгебр Ли определение немного отличается.

Литература

Ссылки

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Алгебраической системы автоморфизм — статья из Математической энциклопедии . Д. М. Смирнов
• Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. — М. : Наука , 1966. — 603 с. — 6000 экз.