Interested Article - Радиан

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радиа́н (русское обозначение: рад , международное: rad ; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге , длина которой равна её радиусу . Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) , а также в системах единиц СГС и МКГСС .

Радианная мера — угловая мера , в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану . Из определения следует, что величина полного угла равна 2 π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла . В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла .

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α , измеренной в радианах, равна α ∙ R .

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности ( м ) к длине её радиуса ( м ), угол в радианном измерении — величина безразмерная .

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом . В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад , международное — rad .

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один . Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду .

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ , однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы . Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад .

Кратные				Дольные
величина	название	обозначение		величина	название	обозначение
10 ¹ рад	декарадиан	дарад	darad	10 ⁻¹ рад	децирадиан	драд	drad
10 ² рад	гекторадиан	град	hrad	10 ⁻² рад	сантирадиан	срад	crad
10 ³ рад	килорадиан	крад	krad	10 ⁻³ рад	миллирадиан	мрад	mrad
10 ⁶ рад	мегарадиан	Мрад	Mrad	10 ⁻⁶ рад	микрорадиан	мкрад	µrad
10 ⁹ рад	гигарадиан	Град	Grad	10 ⁻⁹ рад	нанорадиан	нрад	nrad
10 ¹² рад	терарадиан	Трад	Trad	10 ⁻¹² рад	пикорадиан	прад	prad
10 ¹⁵ рад	петарадиан	Прад	Prad	10 ⁻¹⁵ рад	фемторадиан	фрад	frad
10 ¹⁸ рад	эксарадиан	Эрад	Erad	10 ⁻¹⁸ рад	атторадиан	арад	arad
10 ²¹ рад	зеттарадиан	Зрад	Zrad	10 ⁻²¹ рад	зепторадиан	зрад	zrad
10 ²⁴ рад	йоттарадиан	Ирад	Yrad	10 ⁻²⁴ рад	иокторадиан	ирад	yrad
10 ²⁷ рад	роннарадиан		Rrad	10 ⁻²⁷ рад	ронторадиан		rrad
10 ³⁰ рад	кветтарадиан		Qrad	10 ⁻³⁰ рад	квекторадиан		qrad
рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

1 радиан = 1/( 2π) оборотов = 180/ π градусов = 200/ π градов .

Очевидно, развернутый угол равен $180^{\circ },$ $180^{\circ },$ или ${\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi$ ${\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a [°] = α [рад] × (360° / ( 2π)) или α [рад] × (180° / π),

α [рад] = a [°] : (180° / π) = a [°] × ( π / 180°),

где α [рад] — угол в радианах, a [°] — угол в градусах.

1 рад (или $\rho ^{\circ }$ $\rho ^{\circ }$ ) = ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''$ ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''$ (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

$\rho '$ $\rho'$ (или 1 рад в минутах) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'$ ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'$

$\rho ''$ $\rho ''$ (или 1 рад в секундах) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.$ ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.$

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
$\rho _{\prime \prime }$ $\rho _{\prime \prime }$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = ${\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.$ ${\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.$
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ( $\mathrm {rad}$ $\mathrm {rad}$ ) делаем именованное ( $\rho ^{\circ },\rho ',\rho ''$ $\rho ^{\circ },\rho ',\rho ''$ ) и поэтому должны множить на $\rho ^{\circ }~($ $\rho ^{\circ }~($ или $\rho ',\rho '')$ $\rho ',\rho '')$ ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на $\rho ^{\circ }~($ $\rho ^{\circ }~($ или $\rho ',\rho ''),$ $\rho ',\rho ''),$ либо же умножать на перевёрнутую дробь ${\frac {1}{\rho ^{\circ }}}~({\frac {1}{\rho '}},{\frac {1}{\rho ''}}).$ ${\frac {1}{\rho ^{\circ }}}~({\frac {1}{\rho '}},{\frac {1}{\rho ''}}).$

Пример 1. Перевести в радианы $5^{\circ }43'46''.$ $5^\circ43'46''.$

${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {\rho ^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$ ${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {\rho ^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$

$43'={\frac {43'}{\rho '}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$ $43'={\frac {43'}{\rho '}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$

$46''={\frac {46''}{\rho ''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$ $46''={\frac {46''}{\rho ''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$

$\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$ $\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$ $=0{,}1~\mathrm {rad}$ $=0{,}1~\mathrm {rad}$

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на $\rho ^{\circ }:$ $\rho ^{\circ }:$ (как правило, этот способ более точен)

$46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'$ $46'' = \frac{46''}{60''} = 0{,}\boldsymbol{77}'$

$43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$ $43{,}\boldsymbol{77}' = \frac{43{,}77'}{60'} = 0{,}\boldsymbol{7295}^\circ$

$\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$ $\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$

$5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\rho ^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$ $5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\rho ^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

$a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }$ $a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }$

$0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$ $0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$

$0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''$ $0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''$

Итого $\approx 57^{\circ }17'45''.$ $\approx 57^{\circ }17'45''.$

Таблица градусов, радиан и град

Таблица углов
Угол , в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
$0$ $0$	$0^{\circ }$ $0^{\circ }$	$0$ $0$	$0^{\mathrm {g} }$ $0^{\mathrm {g} }$	$0$ $0$	$1$ $1$	$0$ $0$
${\frac {1}{24}}$ ${\frac {1}{24}}$	$15^{\circ }$ $15^{\circ }$	${\frac {\pi }{12}}$ ${\frac {\pi }{12}}$	$16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$ $16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$ ${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$ ${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-{\sqrt {3}}$ $2-\sqrt{3}$
${\frac {1}{12}}$ ${\frac {1}{12}}$	$30^{\circ }$ $30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{6}}$	$33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$ $33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {1}{8}}$ ${\frac {1}{8}}$	$45^{\circ }$ $45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4}}$ ${\frac {\pi }{4}}$	$50^{\mathrm {g} }$ $50^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$ $1$
${\frac {1}{6}}$ ${\frac {1}{6}}$	$60^{\circ }$ $60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{3}}$	$66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$ $66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$ $\sqrt{3}$
${\frac {5}{24}}$ ${\frac {5}{24}}$	$75^{\circ }$ $75^{\circ }$	${\frac {5\pi }{12}}$ ${\frac {5\pi }{12}}$	$88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$ $88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$ ${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$ ${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+{\sqrt {3}}$ $2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{4}}$	$90^{\circ }$ $90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$ ${\frac {\pi }{2}}$	$100^{\mathrm {g} }$ $100^{\mathrm {g} }$	$1$ $1$	$0$ $0$	не определён
${\frac {7}{24}}$ ${\frac {7}{24}}$	$105^{\circ }$ $105^{\circ }$	${\frac {7\pi }{12}}$ ${\frac {7\pi }{12}}$	$116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$ $116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$ ${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$ $-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$ $-2-{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{3}}$ ${\frac {1}{3}}$	$120^{\circ }$ $120^{\circ }$	${\frac {2\pi }{3}}$ ${\frac {2\pi }{3}}$	$133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$ $133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-{\frac {1}{2}}$ $-\frac{1}{2}$	$-{\sqrt {3}}$ $-\sqrt{3}$
${\frac {3}{8}}$ ${\frac {3}{8}}$	$135^{\circ }$ $135^{\circ }$	${\frac {3\pi }{4}}$ ${\frac {3\pi }{4}}$	$150^{\mathrm {g} }$ $150^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$ $-1$
${\frac {5}{12}}$ ${\frac {5}{12}}$	$150^{\circ }$ $150^{\circ }$	${\frac {5\pi }{6}}$ ${\frac {5\pi }{6}}$	$166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$ $166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\frac {11}{24}}$ ${\frac {11}{24}}$	$165^{\circ }$ $165^{\circ }$	${\frac {11\pi }{12}}$ ${\frac {11\pi }{12}}$	$183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$ $183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$ ${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$ $-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2+{\sqrt {3}}$ $-2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$	$180^{\circ }$ $180^{\circ }$	$\pi$ $\pi$	$200^{\mathrm {g} }$ $200^{\mathrm {g} }$	$0$ $0$	$-1$ $-1$	$0$ $0$
${\frac {7}{12}}$ ${\frac {7}{12}}$	$210^{\circ }$ $210^{\circ }$	${\frac {7\pi }{6}}$ ${\frac {7\pi }{6}}$	$233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$ $233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {1}{2}}$ $-\frac{1}{2}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
${\dfrac {5}{8}}$ ${\dfrac {5}{8}}$	$225^{\circ }$ $225^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{4}}$ ${\dfrac {5\pi }{4}}$	$250^{\mathrm {g} }$ $250^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$ $-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$ $-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$ $1$
${\frac {2}{3}}$ ${\frac {2}{3}}$	$240^{\circ }$ $240^{\circ }$	${\frac {4\pi }{3}}$ ${\frac {4\pi }{3}}$	$266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$ $266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-{\frac {1}{2}}$ $-\frac{1}{2}$	${\sqrt {3}}$ $\sqrt{3}$
${\frac {3}{4}}$ ${\frac {3}{4}}$	$270^{\circ }$ $270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$ ${\frac {3\pi }{2}}$	$300^{\mathrm {g} }$ $300^{\mathrm {g} }$	$-1$ $-1$	$0$ $0$	не определён
${\frac {5}{6}}$ ${\frac {5}{6}}$	$300^{\circ }$ $300^{\circ }$	${\frac {5\pi }{3}}$ ${\frac {5\pi }{3}}$	$333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$ $333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$	${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$ $-\sqrt{3}$
${\frac {7}{8}}$ ${\frac {7}{8}}$	$315^{\circ }$ $315^{\circ }$	${\frac {7\pi }{4}}$ ${\frac {7\pi }{4}}$	$350^{\mathrm {g} }$ $350^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$ $-1$
${\frac {11}{12}}$ ${\frac {11}{12}}$	$330^{\circ }$ $330^{\circ }$	${\frac {11\pi }{6}}$ ${\frac {11\pi }{6}}$	$366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$ $366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {1}{2}}$ $-\frac{1}{2}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$1$ $1$	$360^{\circ }$ $360^{\circ }$	$2\pi$ $2\pi$	$400^{\mathrm {g} }$ $400^{\mathrm {g} }$	$0$ $0$	$1$ $1$	$0$ $0$

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад ( rad ) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее $0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ $0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше $0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$ $0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$ , — то до шестого знака после запятой :

\sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .

\sin\alpha \approx \operatorname{tg}\,\alpha \approx \alpha.

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной . Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им « часть диаметра », которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы .

Термин « радиан » впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте . Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами « рад », « радиал » и « радиан ». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан» .

См. также

Примечания

Радиан // . — М. : Советская энциклопедия , 1984. — Т. 4. 21 января 2022 года.
Деньгуб В. М. , Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М. : Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5 .
.
.
David E. Joyce. (англ.) . Dave's Short Trig Course . Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. 7 сентября 2015 года.
(англ.) . Международное бюро мер и весов . Дата обращения: 19 декабря 2014. 28 июля 2012 года.
Производная единица измерения называется когерентной , если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице .
(неопр.) Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из 10 ноября 2012 года.
(англ.) . SI Brochure: The International System of Units (SI) . Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. 7 октября 2014 года.
↑ Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
, p. 74, 4.3.46.
$\sin 5^{\circ }43'{,}77=0{,}0998\approx 0{,}100$ $\sin 5^\circ43'{,}77 = 0{,}0998 \approx 0{,}100$

$\operatorname {tg} 5^{\circ }43'{,}77=0{,}1003\approx 0{,}100$ $\operatorname{tg} 5^\circ43'{,}77 = 0{,}1003 \approx 0{,}100$ (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

$\sin 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0099998\approx 0{,}010000$ $\sin 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0099998 \approx 0{,}010000$

$\operatorname {tg} 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0100003\approx 0{,}010000$ $\operatorname{tg} 0^\circ34'{,}38 = 0{,}0100003 \approx 0{,}010000$ (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы $5^{\circ }43'{,}77~(\approx 5^{\circ }43'46'')$ $5^\circ43'{,}77 ~ (\approx 5^\circ43'46'')$ и $0^{\circ }34'{,}38~(\approx 0^{\circ }34'23'')$ $0^\circ34'{,}38 ~ (\approx 0^\circ34'23'')$ ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки ( Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М. : изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (неопр.) . The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. 24 сентября 2012 года.
Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag , 1953. — S. 40.
Florian Cajori . History of Mathematical Notations (неопр.) . — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4 .
Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83 , no. 2110 . — P. 156 . — doi : . — Bibcode : . Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83 , no. 2112 . — P. 217 . — doi : . — Bibcode : . Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83 , no. 2120 . — P. 459—460 . — doi : . — Bibcode : .
Miller, Jeff (неопр.) (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. 18 января 2021 года.

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
Гельфанд И. М. , Львовский С. М., Тоом А. Л. . — М. : МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X .
Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.) . — New York: Dover Publications , 1972. — ISBN 0-486-61272-4 .