Interested Article - Глоссарий теории групп

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп . Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений , применяемых в теории групп.

P

p {\displaystyle p} -группа: Группа, для которой существует такое простое число $p$ $p$ , что каждого её элемента является некоторой степенью этого числа. также называется .

А

Абелева группа: То же, что и .
Абелианизация: по , то есть, для группы $G$ $G$ ― $G/[G,G]$ $G/[G,G]$ .
Аддитивная группа кольца: Группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.
Антигомоморфизм групп: Отображение групп $f:(G,*)\to (H,\times)$ $f:(G,*)\to (H,\times)$ такое, что $f(a*b)=f(b)\times f(a)$ $f(a*b)=f(b)\times f(a)$ для произвольных $a$ $a$ и $b$ $b$ в $G$ $G$ (сравните с ).
Абсолютно регулярная $p$ $p$ -группа: Конечная $p$ $p$ -группа, в которой $|G:pG|<p^{p}$ $|G:pG|<p^{p}$ , где $pG$ $pG$ — подгруппа $G$ $G$ , образованная $p$ $p$ -ми степенями её элементов.

Г

Генератор группы: 1. Элемент группы.; 2. Для групп Ли , элемент базиса её алгебры Ли (см. генераторы группы ). Также используется термин инфинитезимальный оператор .
Генетический код группы: То же, что .
Главный ряд подгрупп: , в котором $G_{i}$ $G_{{i}}$ — максимальная в $G$ $G$ из $G_{i+1}$ $G_{{i+1}}$ для всех членов ряда.
Голоморф: Для заданной $(G,*)$ $(G,*)$ — группа над парами $\{(g,\varphi)\mid g\in G,\varphi \in \operatorname {Aut} G\}$ $\{(g,\varphi)\mid g\in G,\varphi \in \operatorname {Aut} G\}$ ( $\operatorname {Aut} G$ $\operatorname {Aut} G$ — группа автоморфизмов группы $G$ $G$ ) с групповой операцией композиции $\odot$ $\odot$ , определённой как $(g_{1},\varphi _{1})\odot (g_{2},\varphi _{2})=(g_{1}*\varphi _{1}^{-1}(g_{2}),\varphi _{1}\circ \varphi _{2})$ $(g_{1},\varphi _{1})\odot (g_{2},\varphi _{2})=(g_{1}*\varphi _{1}^{-1}(g_{2}),\varphi _{1}\circ \varphi _{2})$ .
Гомоморфизм групп: Отображение $f\colon \ (G,*)\to (H,\times)$ $f\colon \ (G,*)\to (H,\times)$ такое, что $f(a*b)=f(a)\times f(b)$ $f(a*b)=f(a)\times f(b)$ для произвольных a и b в G .
Группа: Непустое множество $G$ $G$ с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией $*\colon \ G\times G\to G$ $*\colon \ G\times G\to G$ , при которой в $G$ $G$ имеется $e$ $e$ , то есть для всех $a\in G$ $a\in G$ выполнено $e*a=a*e=a$ $e*a=a*e=a$ , и для каждого элемента $a\in G$ $a\in G$ есть обратный элемент $a^{-1}$ $a^{{-1}}$ , такой, что $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$ $a*a^{{-1}}=a^{{-1}}*a=e$ .
Группа Шмидта: группа, все собственные которой нильпотентны.
Группа Миллера — Морено: группа, все собственные подгруппы которой абелевы.
Групповая алгебра: Для $G$ $G$ над полем $K$ $K$ — это векторное пространство над $K$ $K$ , образующими которого являются элементы $G$ $G$ , а умножение образующих соответствует умножению элементов $G$ $G$ .

Д

Действие группы: $G$ $G$ действует слева на множестве $M$ $M$ , если задан $\Phi \colon G\to S(M)$ $\Phi \colon G\to S(M)$ , где $S(M)$ $S(M)$ — . Группа $G$ $G$ действует справа на множестве $M$ $M$ , если задан гомоморфизм $\rho :G^{op}\to S(M)$ $\rho :G^{op}\to S(M)$ , где $G^{op}$ $G^{{op}}$ — группы $G$ $G$ .
Длина ряда подгрупп: Число $n$ $n$ в определении .

Е

Естественный гомоморфизм: группы $G$ $G$ на $G/H$ $G/H$ по $H$ $H$ , ставящий в соответствие каждому элементу $a$ $a$ группы $aH$ $aH$ . этого гомоморфизма является подгруппа $H$ $H$ .

З

Задание группы: Определение указанием $S$ $S$ и множества соотношений между порождающими $R$ $R$ , обозначается $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ . Также называется генетический код группы , представление группы (создавая неоднозначность с линейным представлением группы ), копредставление группы .

И

Изоморфизм групп: Биективный .
Изоморфные группы: Группы, между которыми существует хотя бы один .
Инвариантная подгруппа: То же, что и .
Инверсная группа: Группа, получаемая сменой местами аргументов бинарной операции, то есть для $G$ $G$ с операцией $\times$ $\times$ — группа $G^{op}$ $G^{{op}}$ с операцией $*$ $*$ такой, что $a*b=b\times a$ $a*b=b\times a$ для всех элементов $G$ $G$ .
Индекс подгруппы: Число в каждом (правом или левом) из разложений группы по данной подгруппе.
Индексы ряда подгрупп: Индексы $|G_{i+1}:G_{i}|$ $|G_{{i+1}}:G_{{i}}|$ в определении .

К

Класс нильпотентности: Для — минимальная из длин .
Класс смежности: Для элемента $g\in G$ $g\in G$ , левый смежный класс (или класс смежности) по $H$ $H$ — множество $gH=\{gh\mid h\in H\}$ $gH=\{gh\mid h\in H\}$ , правый смежный класс по подгруппе $H$ $H$ — множество $Hg=\{hg\mid h\in H\}$ $Hg=\{hg\mid h\in H\}$ , двойной смежный класс по подгруппам $H,K$ $H,K$ — множество $HgK=\{hgk\mid h\in H,k\in K\}$ $HgK=\{hgk\mid h\in H,k\in K\}$ (множество двойных смежных классов обозначается $H\backslash G/K$ $H\backslash G/K$ ).
Класс сопряжённости: Для элемента $g\in G$ $g\in G$ — множество всех его : $\{hgh^{-1}\mid h\in G\}$ $\{hgh^{-1}\mid h\in G\}$ .
Комитант: Для группы $G$ $G$ , на множествах $X$ $X$ и $Y$ $Y$ — отображение $\varphi _{G}\colon X\to Y$ $\varphi _{G}\colon X\to Y$ такое, что для любых $g\in G$ $g\in G$ и $x\in X$ $x\in X$ выполнено $g(\varphi (x))=\varphi (g(x))$ $g(\varphi (x))=\varphi (g(x))$ .
Коммутант: , порождённая всеми группы, обычно обозначается $[G,G]$ $[G,G]$ или $G'$ $G'$ .
Коммутативная группа: Группа с коммутативной бинарной операцией ( $\forall g,h\in G(g*h=h*g)$ $\forall g,h\in G(g*h=h*g)$ ); также называется абелевой группой .
Коммутирующие элементы: Элементы, для которых равен единичному элементу группы, или, что эквивалентно, такие элементы $g,h\in G$ $g,h\in G$ , для которых $g*h=h*g$ $g*h=h*g$ .
Коммутатор: Для элементов $g,h\in G$ $g,h\in G$ — элемент $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ .
Коммутатор подгрупп: Множество всевозможных произведений $\{[g,h]\mid g\in G,h\in H\}$ $\{[g,h]\mid g\in G,h\in H\}$ .
Композиционный ряд: Для группы $G$ $G$ — , в котором все $G_{i+1}/G_{i}$ $G_{i+1}/G_{i}$ — .
Конечная группа: Группа с конечным числом элементов.
Конечная p {\displaystyle p} -группа: Группа, являющаяся одновременно конечной и . Также используется термин .
Конечно заданная группа: Группа, обладающая конечным числом и в этих образующих конечным числом . Также используется термин конечно определённая .
Конечнопорождённая абелева группа: Группа, являющаяся одновременно и .
Конечнопорождённая группа: Группа, обладающая конечной системой .
Копредставление группы: То же, что .
Кручение: Подгруппа всех элементов конечного , применяется для и групп, обозначается $\operatorname {Tor} G$ $\operatorname {Tor} G$ .

Л

Локальное свойство: Говорят, что группа $G$ $G$ обладает некоторым локальным свойством $P$ $P$ , если любая из $G$ $G$ обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.
Локальная теорема: Говорят, что для некоторого свойства $P$ $P$ групп справедлива некоторая локальная теорема, если всякая группа, , сама обладает им. Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Максимальная подгруппа: Такая , что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой группой).
Метабелева группа: Группа, которой , такой группы равна 2.
Метанильпотентная группа: со равной 2.
Метациклическая группа: Группа, обладающая , по которой также циклическая. Всякая конечная группа, которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.
Минимальная нормальная подгруппа: Наименьшая (по включению) неединичная (то есть, состоящая не только из единичного элемента) .

Н

Нейтральный элемент: Элемент, задаваемый в определении , любое применение которого при бинарной операции оставляет другой аргумент неизменным.
Нильпотентная группа: Группа, обладающая . Минимальная из длин таких рядов называется её .
Норма группы: Совокупность элементов группы, со всеми , то есть пересечение всех её подгрупп.
Нормализатор: Для подгруппы $H$ $H$ в $G$ $G$ — это максимальная подгруппа $G$ $G$ , в которой $H$ $H$ . Иначе говоря, нормализатор есть $H$ $H$ при $G$ $G$ на множестве своих подгрупп , то есть $N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$ $N(H)=\{g\in G\mid gHg^{{-1}}=H\}$ .
Нормальная подгруппа: $H$ $H$ есть нормальная $G$ $G$ , если для любого элемента $g\in G$ $g\in G$ выполнено $gH=Hg$ $gH=Hg$ , то есть $H$ $H$ в $G$ $G$ совпадают. Иначе говоря, если $\forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H$ $\forall g\in G\quad \forall h\in H\quad ghg^{-1}\in H$ . Также называется инвариантная подгруппа , нормальный делитель .
Нормальный делитель: То же, что и .
Нормальный ряд подгрупп: , в котором $G_{i}$ $G_{{i}}$ в $G$ $G$ , для всех членов ряда.

О

Орбита: Для элемента $m$ $m$ множества $M$ $M$ , на который группа $G$ $G$ — множество всех действий над элементом: $Gm=\{gm\mid g\in G\}$ $Gm=\{gm\mid g\in G\}$ .

П

Перестановочные элементы: Пара элементов $a,b\in G$ $a,b\in G$ такие что $ab=ba$ $ab=ba$ .
Период группы: Наименьшее общее кратное данной группы. То же, что и , .
Периодическая группа: Группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок .
Подгруппа: Подмножество $H$ $H$ группы $G$ $G$ , которое является относительно операции, определённой в $G$ $G$ .
Подгруппа кручения: То же, что и .
Подгруппа, порождённая множеством: Наименьшая подгруппа, содержащая данное подмножество группы.
: Подгруппа, порождённая всеми ; обозначается $J(G)$ $J(G)$ .
: Подгруппа, порождённая всеми ; обозначается $F(G)$ $F(G)$ .
: Пересечение всех , если таковые существуют, либо сама группа $G$ $G$ в противном случае; обозначается $\Phi (G)$ $\Phi (G)$ .
Показатель группы: То же, что и , .
Полинильпотентная группа: Группа обладающая конечным , факторы которого .
Полупрямое произведение: Для групп $G$ $G$ и $H$ $H$ над $\phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)$ $\phi :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(H)$ (обозначается по-разному, в том числе $G\rtimes _{\phi }H$ $G\rtimes _{\phi }H$ ) — множество $G\times H$ $G\times H$ , наделённое операцией $*$ $*$ , для которой $(g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})$ $(g_{1},h_{1})*(g_{2},h_{2})=(g_{1}\phi (h_{1})(g_{2}),h_{1}h_{2})$ для любых $g_{1},g_{2}\in G$ $g_{1},g_{2}\in G$ , $h_{1},h_{2}\in H$ $h_{1},h_{2}\in H$ .
Порождающее множество группы: Такое подмножество группы, что каждый элемент группы может быть записан как произведение конечного числа элементов множества и их обратных.
Порядок группы: То же, что и мощность множества группы (для — количество элементов группы).
Порядок элемента: Для элемента $g\in G$ $g\in G$ — минимальное натуральное число $m$ $m$ такое, что $g^{m}=e$ $g^{m}=e$ . В случае, если такого $m$ $m$ не существует, считается, что $g$ $g$ имеет бесконечный порядок.
Почти- ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {E}}$ -группа: Для теоретико-группового свойства ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {E}}$ — группа, обладающая подгруппой конечного , обладающей свойством ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {E}}$ ; так говорят о почти , почти разрешимых , почти полициклических группах.
Представление группы: 1. Линейное представление группы , гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства .; 2. То же, что и .
Простая группа: Группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной (состоящей только из единичного элемента) и всей группы.
Примарная группа: Конечная группа, являющаяся для некоторого простого числа $p$ $p$ .
Примарная абелева группа: Группа, являющаяся одновременно и .
Прямое произведение: Для групп $(G,\cdot)$ $(G,\cdot)$ и $(H,*)$ $(H,*)$ — множество пар $G\times H$ $G\times H$ , наделённое операцией покомпонентного умножения: $(g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}*h_{2})$ $(g_{1},h_{1})\times (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}*h_{2})$ .

Р

^*: Мощность максимального линейно-независимого подмножества , рассматриваемой как модуль над кольцом целых чисел . Не следует путать с понятием .
^*: Мощность наименьшего группы. Не следует путать с понятием .
Расширение группы: Группа, содержащая данную группу в качестве .
Разрешимая группа: Группа, обладающая с . Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости .
: Подгруппа, порождённая всеми , обозначается $S(G)$ $S(G)$ .
Ряд подгрупп: Конечная последовательность подгрупп $G_{0},G_{1},...,G_{n}$ $G_{0},G_{1},...,G_{n}$ такая, что $G_{i}\leq G_{i+1}$ $G_{i}\leq G_{i+1}$ , для всех $i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G$ $i\in \left\{0,...,n-1\right\},~G_{0}=1,~G_{n}=G$ . Такой ряд записывают в виде $1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G$ $1=G_{0}\leq G_{1}\leq \dots \leq G_{n}=G$ или в виде $G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1$ $G=G_{n}\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_{0}=1$ .
Регулярная $p$ $p$ -группа: Конечная , для любой пары элементов $a$ $a$ и $b$ $b$ которой найдётся элемент $u$ $u$ подгруппы, порожденной этими элементами, такой, что $(ab)^{p}=a^{p}b^{p}u^{p}$ $(ab)^{p}=a^{p}b^{p}u^{p}$ .

С

Сверхразрешимая группа: Группа, обладающая с .
Свободная группа: Группа, некоторым множеством и при этом не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами , изоморфны .
Свободное произведение: Группа, элементами данных групп без дополнительных соотношений между элементами, кроме соотношений, определяющих каждую из данных групп.
Силовская подгруппа: в $G$ $G$ , имеющая $p^{n}$ $p^{n}$ , где $|G|=p^{n}s$ $|G|=p^{n}s$ и наибольший общий делитель чисел $p$ $p$ и $s$ $s$ равен 1.
Симметрическая группа: Группа всех биекций заданного конечного множества (то есть, всех перестановок ) относительно операции композиции .
Соотношение: Тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при образующими и соотношениями).
Сопряжённый элемент: Для элемента $g\in G$ $g\in G$ — элемент вида $h{\cdot }g{\cdot }h^{-1}$ $h{\cdot }g{\cdot }h^{-1}$ для некоторого $h\in G$ $h\in G$ . Часто используют короткое обозначение $g^{h}=h{\cdot }g{\cdot }h^{-1}$ $g^{h}=h{\cdot }g{\cdot }h^{-1}$ .
Сплетение групп: ^* $A$ $A$ и $H$ $H$ (обозначается $A\wr H$ $A\wr H$ ), где группа $H$ $H$ действует на некотором множестве $\Omega$ $\Omega$ , — это полупрямое произведение $K\rtimes H$ $K\rtimes H$ , где группа $K$ $K$ — прямое произведение или прямая сумма набора копий группы $A$ $A$ , индексируемого элементами множества $\Omega$ $\Omega$ ; в первом случае сплетение называется декартовым (или полным) сплетением и обозначается также $A\,\mathrm {Wr} \,H$ $A\,\mathrm {Wr} \,H$ , во втором — прямым сплетением $A\,\mathrm {wr} \,H$ $A\,\mathrm {wr} \,H$ .
Стабилизатор: Для элемента $p$ $p$ множества $M$ $M$ , на котором действует группа $G$ $G$ — подгруппа $\mathrm {St} _{G}(p)\subset G$ $\mathrm {St} _{G}(p)\subset G$ , все элементы которой оставляют $p$ $p$ на месте: $g\cdot p=p$ $g\cdot p=p$ .
Ступень разрешимости: Наименьшая из длин с для данной группы.
Субнормальный ряд подгрупп: , в котором подгруппа $G_{i}$ $G_{{i}}$ нормальна в подгруппе $G_{i+1}$ $G_{{i+1}}$ , для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа: Для $G$ $G$ и её $H$ $H$ — множество подгруппы $H$ $H$ с умножением, определяемым следующим образом: $(aH)*(bH)=(ab)H$ $(aH)*(bH)=(ab)H$ .
Факторы субнормального ряда: $G_{i+1}/G_{i}$ $G_{{i+1}}/G_{{i}}$ в определении .

Х

Характеристическая подгруппа: , инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.
Холлова подгруппа: , которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы: Максимальная группа элементов, с каждым элементом группы: $\mathrm {Z} _{G}(G)=\{g\in G\mid \forall {h\in G}\,(gh=hg)\}$ $\mathrm {Z} _{G}(G)=\{g\in G\mid \forall {h\in G}\,(gh=hg)\}$ . Своеобразная «мера абелевости»: группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.
Централизатор: Максимальная подгруппа, каждый элемент которой с заданным элементом: $\mathrm {Z} _{G}(h)=\{g\in G\mid gh=hg\}$ $\mathrm {Z} _{G}(h)=\{g\in G\mid gh=hg\}$ .
Центральный ряд подгрупп: , в котором $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$ $G_{{i+1}}/G_{{i}}\subseteq Z(G/G_{{i}})$ , для всех членов ряда.
Центральный элемент группы: Элемент, входящий в .
Циклическая группа: Группа, состоящая из и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Э

Экспонента: Числовая характеристика , равная наименьшему общему кратному всех элементов группы, обозначается $\exp(G)$ $\exp(G)$ . То же, что и , .
Элементарная группа: Группа, являющаяся или , либо получаемая из конечных и абелевых групп последовательностью операций взятия , эпиморфных образов, прямых пределов и расширений .
Эпиморфизм групп: Эпиморфизмом называется $f:G\to H$ $f:G\to H$ , если отображение f сюръективно .

Я

Ядро гомоморфизма: Прообраз при . Ядро всегда есть , а любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Таблица обозначений

В данном разделе приводятся некоторые обозначения, используемые в публикациях по теории групп. Для некоторых обозначений указываются также соответствующие понятия в некоторых других разделах общей алгебры (теории колец, полей). Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, $H\triangleleft G$ $H\triangleleft G$ обозначает то же, что и $G\triangleright H$ $G\triangleright H$ .

Символ (Τ Ε Χ)	Символ ( Unicode )	Название	Значение
Символ (Τ Ε Χ)	Символ ( Unicode )	Произношение	Значение
Символы теории групп
$\triangleleft$ $\triangleleft$	⊲	Нормальная подгруппа , идеал кольца	$H\triangleleft G$ $H\triangleleft G$ означает « $H$ $H$ является нормальной подгруппой группы $G$ $G$ », если $G$ $G$ — группа, и « $H$ $H$ является (двусторонним) идеалом кольца $G$ $G$ », если $G$ $G$ — кольцо.
$\triangleleft$ $\triangleleft$	⊲	«нормальна в», «… является идеалом …»
$[\ :\ ]$ $[\ :\ ]$	[ : ]	Индекс подгруппы , размерность поля	$[G:H]$ $[G:H]$ означает «индекс подгруппы $H$ $H$ в группе $G$ $G$ », если $G$ $G$ — группа, и «размерность поля $H$ $H$ над полем $G$ $G$ », если $G$ $G$ и $H$ $H$ — поля.
$[\ :\ ]$ $[\ :\ ]$	[ : ]	«индекс … в …», «размерность … над …»
$\times$ $\times$	×	Прямое произведение групп	$G\times H$ $G\times H$ означает «прямое произведение групп $G$ $G$ и $H$ $H$ ».
$\times$ $\times$	×	«прямое произведение … и …»
$\oplus$ $\oplus$	⊕	Прямая сумма подпространств	$V=V_{1}\oplus V_{2}$ $V=V_{1}\oplus V_{2}$ означает «пространство $V$ $V$ разлагается в прямую сумму подпространств $V_{1}$ $V_{1}$ и $V_{2}$ $V_{2}$ ».
$\oplus$ $\oplus$	⊕	«прямая сумма … и …»
$\otimes$ $\otimes$	⊗	Тензорное произведение	$T_{1}\otimes T_{2}$ $T_{1}\otimes T_{2}$ означает «тензорное произведение тензоров $T_{1}$ $T_{1}$ и $T_{2}$ $T_{2}$ ».
$\otimes$ $\otimes$	⊗	«тензорное произведение … и …»
$[\,,\,]$ $[\,,\,]$	[ , ]	элементов группы	$[g,\,h]$ $[g,\,h]$ означает «коммутатор элементов $g$ $g$ и $h$ $h$ группы $G$ $G$ », то есть элемент $ghg^{-1}h^{-1}$ $ghg^{{-1}}h^{{-1}}$ .
$[\,,\,]$ $[\,,\,]$	[ , ]	«коммутатор … и …»
$G^{\prime }$ $G^{\prime }$	G'		$G^{\prime }$ $G^{\prime }$ означает «коммутант группы $G$ $G$ ».
$G^{\prime }$ $G^{\prime }$	G'	«коммутант …»
$\langle \ \rangle _{n}$ $\langle \ \rangle _{n}$	⟨ ⟩ _n		$\langle a\rangle _{n}$ $\langle a\rangle _{n}$ означает «циклическая группа порядка $n$ $n$ , порождённая элементом $a$ $a$ ».
$\langle \ \rangle _{n}$ $\langle \ \rangle _{n}$	⟨ ⟩ _n	«Циклическая группа порядка $n$ $n$ , порождённая $a$ $a$ »
$A^{T}$ $A^{T}$	A ^T	Транспонированная матрица	$A^{T}$ $A^{T}$ означает «транспонированная матрица $A$ $A$ ».
$A^{T}$ $A^{T}$	A ^T	«транспонированная матрица …»
$E_{i,\,j}$ $E_{i,\,j}$	E _{i, j}	Матричная единица	$E_{i,\,j}$ $E_{i,\,j}$ означает «матричная $i,\;j$ $i,\;j$ -единица», то есть матрица , у которой на месте $(i,\;j)$ $(i,\;j)$ стоит единица, а на остальных местах — нули.
$E_{i,\,j}$ $E_{i,\,j}$	E _{i, j}	«матричная единица …»
$$ $$	*	Сопряжённый оператор Сопряжённое пространство Мультипликативная группа поля	${\mathcal {A}}^{}$ ${\mathcal {A}}^{}$ означает « линейный оператор , сопряжённый к ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ », если ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ — линейный оператор. $V^{}$ $V^{}$ означает « линейное пространство , сопряжённое к $V$ $V$ (дуальное к $V$ $V$ )», если $V$ $V$ — линейное пространство. $F^{}$ $F^{}$ означает «мультипликативная группа поля $F$ $F$ », если $F$ $F$ — поле.
$$ $$	*	«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»; «мультипликативная группа …»
Стандартные обозначения некоторых групп
$S_{n}$ $S_{n}$	S _n	Симметрическая группа $n$ $n$ -ой степени	$S_{n}$ $S_{n}$ означает «симметрическая группа (или группа перестановок) степени $n$ $n$ ».
$S_{n}$ $S_{n}$	S _n	«эс …»
$A_{n}$ $A_{n}$	A _n	Знакопеременная группа $n$ $n$ -ой степени	$A_{n}$ $A_{n}$ означает «знакопеременная группа (то есть группа чётных подстановок) степени $n$ $n$ ».
$A_{n}$ $A_{n}$	A _n	«а …»
$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$	ℤ/nℤ	Циклическая группа порядка $n$ $n$	$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ означает «циклическая группа порядка $n$ $n$ (эквивалентно: группа остатков по сложению по модулю $n$ $n$ )».
$GL_{n}(F)$ $GL_{n}(F)$	GL _n (F)	Полная линейная группа — группа невырожденных линейных операторов	$GL_{n}(F)$ $GL_{n}(F)$ означает «группа невырожденных линейных операторов размерности $n$ $n$ над полем $F$ $F$ » (от general linear ).
$GL_{n}(F)$ $GL_{n}(F)$	GL _n (F)	«же эль … над …»
$SL_{n}(F)$ $SL_{n}(F)$	SL _n (F)	Специальная линейная группа — группа линейных операторов c определителем 1	$SL_{n}(F)$ $SL_{n}(F)$ означает «группа линейных операторов размерности $n$ $n$ над полем $F$ $F$ с определителем 1» (от special linear ).
$SL_{n}(F)$ $SL_{n}(F)$	SL _n (F)	«эс эль … над …»
$UT_{n}(F)$ $UT_{n}(F)$	UT _n (F)		$UT_{n}(F)$ $UT_{n}(F)$ означает «группа верхних треугольных матриц порядка $n$ $n$ над полем $F$ $F$ » (от upper triangular ).
$UT_{n}(F)$ $UT_{n}(F)$	UT _n (F)	«группа верхних треугольных матриц порядка … над …»
$SUT_{n}(F)$ $SUT_{n}(F)$	SUT _n (F)		$SUT_{n}(F)$ $SUT_{n}(F)$ означает «группа верхних унитреугольных матриц порядка $n$ $n$ над полем $F$ $F$ » (от special upper triangular), то есть верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.
$SUT_{n}(F)$ $SUT_{n}(F)$	SUT _n (F)	«группа верхних унитреугольных матриц порядка … над …»
$PGL_{n}(K)$ $PGL_{n}(K)$	PGL _n (K)	Проективная группа	$PGL_{n}(K)$ $PGL_{n}(K)$ означает "группа преобразований $(n-1)$ $(n-1)$ -мерного проективного пространства $P_{n-1}(K)$ $P_{n-1}(K)$ , индуцированных невырожденными линейными преобразованиями пространства $K^{n}$ $K^n$ .
$PGL_{n}(K)$ $PGL_{n}(K)$	PGL _n (K)	«проективная группа порядка … над …»
$D_{n}$ $D_{n}$	D _n	Группа диэдра $n$ $n$ -ой степени	$D_{n}$ $D_{n}$ означает «группа диэдра $n$ $n$ -ой степени» (то есть группа симметрий правильного $n$ $n$ -угольника).
$D_{n}$ $D_{n}$	D _n	«дэ …»
$V_{4}$ $V_{4}$	V ₄	Четверная группа Клейна	$V_{4}$ $V_{4}$ означает «четверная группа Клейна».
$V_{4}$ $V_{4}$	V ₄	«вэ четыре»	$V_{4}$ $V_{4}$ означает «четверная группа Клейна».

Литература

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М. : Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7 .
, Ремесленников В. Н. , . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .